Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 48 a získáváme |R(f)| ≤ k∑ j=1 Ω (2n)! b−a ∫k 0 ( 1 +1 2 u− x〈−1,1〉 ( u− x〈−1,1〉 ) 2 b−a k 2 +1 2 ) 2 b−a ...( k n +1 2 u− x〈−1,1〉 ) 2 b−a du. k Ze všech n závorek (kořeny Legendrova polynomu mají indexy 1,2,...,n) můžeme vytknout zlomek b−a 2k a získáváme |R(f)| ≤ (b−a)2n 2 2n k 2n k∑ j=1 Opět zavedeme substituci Ω (2n)! b−a ∫k 0 ( ) 2ku 2 b−a −x〈−1,1〉 1 −1 ( 2ku 2 ( 2ku 2 b−a −x〈−1,1〉 2 −1) ... b−a −x〈−1,1〉 n −1) du. b−a 2k v = 2ku b−a −1 dv =du a dostaneme b−a k 0 ↦→ 0−1 = −1 ↦→ 2k(b−a) k(b−a) −1 = 2−1 = 1 |R(f)| ≤ (b−a)2n+1 2 2n+1 k 2n+1 k∑ j=1 Ω (2n)! ∫ 1 −1 ( v −x 〈−1,1〉 1 ) 2 ( v −x 〈−1,1〉 2 ) 2... ( v −x 〈−1,1〉 n ) 2 dv. V souladu s dokazovanou větou označíme proměnnou v jako x a uzly x 〈−1,1〉 1 ,x 〈−1,1〉 2 , ..., x n 〈−1,1〉 jakox 1 ,x 2 ,...,x n . Všimněme si, že hodnota integrálu je nezávislá naj, takže ji můžeme vytknout. Totéž platí a Ω, takže obdržíme vztah ipro 1 (2n)! |R(f)| ≤ Ω (b−a) 2n+1 ∫1 (2n)! 2 2n+1 k 2n (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 dx. −1
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 49 Poznámka 6.5. Povšimněme si, že hodnoty I n závisí pouze na počtu uzlů. Pro zjednodušení dalších výpočtů můžeme hodnotyI n pro prvních několikntabelovat. Počet uzlů 1 2 3 4 5 I n 2 3 8 45 8 175 128 11025 128 43659 Příklad 6.5. Určete, jak se mění odhad chyby aproximace integrálu ∫ 1 −1 e −x2 dx s rostoucímk. Integrál funkce f aproximujte složenou Gaussovou-Legendrovou kvadraturou o třech uzlech v každém subintervalu. Odhad chyby složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury budeme počítat pomocí vztahu |R(f)| ≤ Ω (b−a) 2n+1 (2n)! 2 2n+1 k 2n I n. Nejprve je zapotřebí odhadnout maximum šesté derivaci funkcef na intervalu〈−1,1〉. Z příkladu 6.2 víme, že |f (6) (x)| ≤ 192 (∀x ∈ 〈−1,1〉). HodnotuI 3 , vyhledáme v tabulce z poznámky 6.5. Po dosazení do vzorce (22) platí 2 7 |R(f)| ≤ 192 8 7202 7 k 6 175 . Odhady chyby pro jednotlivé hodnotyk jsou zaneseny v následující tabulce. Počet podintervalů Odhad chyby 2 1,904762·10 −4 3 1,672218·10 −4 4 2,976190·10 −6 5 7,801904·10 −7 6 2,612842·10 −7 7 1,036173·10 −7 8 4,650297·10 −8 9 2,229385·10 −7 10 1,219047·10 −8
- Page 1: VŠB - Technická univerzita Ostrav
- Page 5 and 6: Abstrakt Gaussova kvadratura je jed
- Page 7 and 8: OBSAH 7 11 Závěr 70 12 Literatura
- Page 9 and 10: 1 ÚVOD 9 1 Úvod Na základě pozn
- Page 11 and 12: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 13 and 14: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 15 and 16: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
- Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
- Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
- Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
- Page 25 and 26: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
- Page 27 and 28: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2
- Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
- Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 33 and 34: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 35 and 36: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 39 and 40: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 41 and 42: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 43 and 44: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 45 and 46: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 47: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 51 and 52: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 53 and 54: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 55 and 56: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 57 and 58: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
- Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
- Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 65 and 66: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 67 and 68: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
- Page 69 and 70: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
- Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 49<br />
Poznámka 6.5. Povšimněme si, že hodnoty I n závisí pouze na počtu uzlů. Pro zjednodušení<br />
dalších výpočtů můžeme hodnotyI n pro prvních několikntabelovat.<br />
Počet uzlů 1 2 3 4 5<br />
I n<br />
2<br />
3<br />
8<br />
45<br />
8<br />
175<br />
128<br />
11025<br />
128<br />
43659<br />
Příklad 6.5. Určete, jak se mění odhad chyby aproximace integrálu<br />
∫ 1<br />
−1<br />
e −x2 dx s rostoucímk. Integrál<br />
funkce f aproximujte složenou Gaussovou-Legendrovou kvadraturou o třech uzlech v každém<br />
subintervalu.<br />
Odhad chyby složené <strong>Gaussovy</strong>-Legendrovy <strong>kvadratury</strong> budeme počítat pomocí vztahu<br />
|R(f)| ≤ Ω (b−a) 2n+1<br />
(2n)! 2 2n+1 k 2n I n.<br />
Nejprve je zapotřebí odhadnout maximum šesté derivaci funkcef na intervalu〈−1,1〉. Z příkladu<br />
6.2 víme, že<br />
|f (6) (x)| ≤ 192 (∀x ∈ 〈−1,1〉).<br />
HodnotuI 3 , vyhledáme v tabulce z poznámky 6.5.<br />
Po dosazení do vzorce (22) platí<br />
2 7<br />
|R(f)| ≤ 192 8<br />
7202 7 k 6 175 .<br />
Odhady chyby pro jednotlivé hodnotyk jsou zaneseny v následující tabulce.<br />
Počet podintervalů<br />
Odhad chyby<br />
2 1,904762·10 −4<br />
3 1,672218·10 −4<br />
4 2,976190·10 −6<br />
5 7,801904·10 −7<br />
6 2,612842·10 −7<br />
7 1,036173·10 −7<br />
8 4,650297·10 −8<br />
9 2,229385·10 −7<br />
10 1,219047·10 −8
Change language