Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 48
a získáváme
|R(f)| ≤
k∑
j=1
Ω
(2n)!
b−a
∫k
0
(
1 +1
2
u− x〈−1,1〉
(
u− x〈−1,1〉
) 2
b−a
k
2 +1
2
) 2
b−a
...(
k
n +1
2
u−
x〈−1,1〉
) 2
b−a
du.
k
Ze všech n závorek (kořeny Legendrova polynomu mají indexy 1,2,...,n) můžeme vytknout
zlomek b−a
2k a získáváme
|R(f)| ≤ (b−a)2n
2 2n k 2n k∑
j=1
Opět zavedeme substituci
Ω
(2n)!
b−a
∫k
0
( ) 2ku 2
b−a −x〈−1,1〉 1 −1
( 2ku 2 ( 2ku 2
b−a −x〈−1,1〉 2 −1)
...
b−a −x〈−1,1〉 n −1)
du.
b−a
2k
v = 2ku
b−a −1
dv =du
a dostaneme
b−a
k
0 ↦→ 0−1 = −1
↦→ 2k(b−a)
k(b−a)
−1 = 2−1 = 1
|R(f)| ≤ (b−a)2n+1
2 2n+1 k 2n+1 k∑
j=1
Ω
(2n)!
∫ 1
−1
(
v −x 〈−1,1〉
1
) 2 (
v −x 〈−1,1〉
2
) 2... (
v −x 〈−1,1〉
n
) 2
dv.
V souladu s dokazovanou větou označíme proměnnou v jako x a uzly x 〈−1,1〉
1 ,x 〈−1,1〉
2 , ...,
x n 〈−1,1〉 jakox 1 ,x 2 ,...,x n .
Všimněme si, že hodnota integrálu je nezávislá naj, takže ji můžeme vytknout. Totéž platí
a Ω, takže obdržíme vztah
ipro
1
(2n)!
|R(f)| ≤ Ω (b−a) 2n+1 ∫1
(2n)! 2 2n+1 k 2n (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 dx.
−1