Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 47
Důkaz. Chyba složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury bude součtem chyb na jednotlivých subintervalech.
Ty spočítáme pomocí vzorce (20), tj.
∫ b j
k∑ Ω
|R(f)| ≤ (x−x 〈a j,b j 〉
1 ) 2 (x−x 〈a j,b j 〉
2 ) 2 ...(x−x 〈a j,b j 〉
n ) 2 dx.
(2n)!
j=1 a j
Připomeňme si, že hodnoty x 〈a j,b j 〉
1 ,x 〈a j,b j 〉
2 ,...,x 〈a j,b j 〉
n jsou kořeny Legendrova polynomu
L 〈a j,b j 〉
n , platí tudíž
x 〈a j,b j 〉 = x〈−1,1〉 +1
(b j −a j )+a j .
2
Dále víme, že hodnoty a j ,b j můžeme vyjádřit jakoa+(j −1) b−a
k ,a+jb−a k
. Platí tedy
x 〈a+(j−1)b−a b−a
,a+j k
k
〉 x 〈−1,1〉 +1 =
2
= x〈−1,1〉 +1
2
Po úpravě dostáváme vztah
|R(f)| ≤
k∑ Ω
(2n)!
j=1
(
a+j b−a
k ∫
a+(j−1) b−a
k
x−
Zaved’me následující substituci
(
(
x 〈−1,1〉
(a+j b−a
k
−a−(j −1) b−a )+a+(j −1)b−a =
k k
( b−a )+a+(j −1)b−a
k k .
x−
(
x 〈−1,1〉
2 +1b−a
2 k
(
x−
1 +1
2
b−a
k
)) 2
+a+(j −1) b−a
k
)) 2
+a+(j −1) b−a ...
k
(
x 〈−1,1〉
n +1
2
b−a
k
u =x−a−(j −1) b−a
k
du =dx
+a+(j −1) b−a
k
)) 2
dx.
a+(j −1) b−a
k
a+j b−a
k
↦→ a+(j −1) b−a
k
↦→ a+j b−a
k
−a−(j −1) b−a
k
−a−(j −1) b−a = b−a
k k
= 0