Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 46 Využijeme toho, že výše uvedená věta se dá matematickou indukcí zobecnit pro libovolný konečný počet podintervalů intervalu〈a,b〉. Věta 6.3. Necht’ funkce f je integrovatelná na 〈a,b〉, necht’ dále k ∈ N je počet podintervalů intervalu 〈a,b〉 a a j ,b j ,j ∈ {1,2,...,k} jsou krajní body jednotlivých podintervalů, přičemž platí a = a 1 < b 1 = a 2 < b 2··· < a k < b k = b. Pak je funkce f integrovatelná na intervalech 〈a j ,b j 〉 a platí ∫ b k∑ ∫ b j f(x)dx = f(x)dx. a j=1a j Z výše uvedené věty rovněž plyne, že hodnotu integrálu funkcef můžeme aproximovat součtem kvadraturních formulí Q 〈a j,b j 〉 , kde a j ,b j ,j ∈ {1,2,...,k} jsou krajní body podintervalů intervalu〈a,b〉. To znamená ⎛ ⎞ ∫ b a f(x)dx ≈ k∑ n∑ j=1 i=1 A 〈a j,b j 〉 i f(x 〈a j,b j 〉 i ) ⎝= k∑ Q 〈a j,b j 〉 (f) ⎠, kdex 〈a j,b j 〉 1 ,x 〈a j,b j 〉 2 ,...,x 〈a j,b j 〉 n jsou uzly kvadraturní formuleQ 〈a j,b j 〉 a A 〈a j,b j 〉 1 , A 〈a j,b j 〉 2 , ...,A 〈a j,b j 〉 n koeficienty kvadraturní formuleQ 〈a j,b j 〉 . Pokud aproximujeme hodnotu integrálu funkcef pomocí složené Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule, dopustíme se jisté chyby. Tuto chybu označíme jako R(f) a její hodnotu jsme schopni vypočítat přesně jako součet rozdílů hodnot integrálů funkcef a hodnot Gaussovy-Legendrovy kvadratury na jednotlivých subintervalech, tj. ⎛ ⎞ k∑ ∫ b j ⎜ ⎟ R(f) = ⎝ ⎠. j=1 j=1 a j f(x)dx−Q 〈a j,b j 〉 (f) Často však počítáme s funkcí, jejíž integrál není možno spočítat analyticky. Není tudíž možné spočítat hodnotu chyby přesně a je nutné přistoupit k jejímu odhadu. Věta 6.4. Rozdělme interval 〈a,b〉 na k stejně velkých podintervalů. Necht’ n ∈ N je počet uzlů Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule v jednotlivých podintervalech a f je reálná funkce, která má na intervalu〈a,b〉 omezenou2n-tou derivaci. Pak pro chybu složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury platí vztah |R(f)| ≤ Ω (b−a) 2n+1 (2n)! 2 2n+1 k 2n I n, (22) přičemž I n = ∫ 1 −1 (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 dx, kde x 1 < x 2 < ··· < x n jsou kořeny Legendrova polynomu L 〈−1,1〉 n pro každé x ∈ 〈a,b〉 platí |f (2n) (x)| ≤ Ω. a Ω je taková hodnota, že
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 47 Důkaz. Chyba složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury bude součtem chyb na jednotlivých subintervalech. Ty spočítáme pomocí vzorce (20), tj. ∫ b j k∑ Ω |R(f)| ≤ (x−x 〈a j,b j 〉 1 ) 2 (x−x 〈a j,b j 〉 2 ) 2 ...(x−x 〈a j,b j 〉 n ) 2 dx. (2n)! j=1 a j Připomeňme si, že hodnoty x 〈a j,b j 〉 1 ,x 〈a j,b j 〉 2 ,...,x 〈a j,b j 〉 n jsou kořeny Legendrova polynomu L 〈a j,b j 〉 n , platí tudíž x 〈a j,b j 〉 = x〈−1,1〉 +1 (b j −a j )+a j . 2 Dále víme, že hodnoty a j ,b j můžeme vyjádřit jakoa+(j −1) b−a k ,a+jb−a k . Platí tedy x 〈a+(j−1)b−a b−a ,a+j k k 〉 x 〈−1,1〉 +1 = 2 = x〈−1,1〉 +1 2 Po úpravě dostáváme vztah |R(f)| ≤ k∑ Ω (2n)! j=1 ( a+j b−a k ∫ a+(j−1) b−a k x− Zaved’me následující substituci ( ( x 〈−1,1〉 (a+j b−a k −a−(j −1) b−a )+a+(j −1)b−a = k k ( b−a )+a+(j −1)b−a k k . x− ( x 〈−1,1〉 2 +1b−a 2 k ( x− 1 +1 2 b−a k )) 2 +a+(j −1) b−a k )) 2 +a+(j −1) b−a ... k ( x 〈−1,1〉 n +1 2 b−a k u =x−a−(j −1) b−a k du =dx +a+(j −1) b−a k )) 2 dx. a+(j −1) b−a k a+j b−a k ↦→ a+(j −1) b−a k ↦→ a+j b−a k −a−(j −1) b−a k −a−(j −1) b−a = b−a k k = 0
- Page 1: VŠB - Technická univerzita Ostrav
- Page 5 and 6: Abstrakt Gaussova kvadratura je jed
- Page 7 and 8: OBSAH 7 11 Závěr 70 12 Literatura
- Page 9 and 10: 1 ÚVOD 9 1 Úvod Na základě pozn
- Page 11 and 12: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 13 and 14: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 15 and 16: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
- Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
- Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
- Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
- Page 25 and 26: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
- Page 27 and 28: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2
- Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
- Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 33 and 34: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 35 and 36: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 39 and 40: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 41 and 42: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 43 and 44: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 45: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 49 and 50: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 51 and 52: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 53 and 54: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 55 and 56: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 57 and 58: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
- Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
- Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 65 and 66: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 67 and 68: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
- Page 69 and 70: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
- Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 46<br />
Využijeme toho, že výše uvedená věta se dá matematickou indukcí zobecnit pro libovolný<br />
konečný počet podintervalů intervalu〈a,b〉.<br />
Věta 6.3. Necht’ funkce f je integrovatelná na 〈a,b〉, necht’ dále k ∈ N je počet podintervalů<br />
intervalu 〈a,b〉 a a j ,b j ,j ∈ {1,2,...,k} jsou krajní body jednotlivých podintervalů, přičemž<br />
platí a = a 1 < b 1 = a 2 < b 2··· < a k < b k = b. Pak je funkce f integrovatelná na intervalech<br />
〈a j ,b j 〉 a platí<br />
∫ b k∑<br />
∫ b j<br />
f(x)dx = f(x)dx.<br />
a j=1a j<br />
Z výše uvedené věty rovněž plyne, že hodnotu integrálu funkcef můžeme aproximovat součtem<br />
kvadraturních formulí Q 〈a j,b j 〉 , kde a j ,b j ,j ∈ {1,2,...,k} jsou krajní body podintervalů<br />
intervalu〈a,b〉. To znamená<br />
⎛ ⎞<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx ≈<br />
k∑<br />
n∑<br />
j=1 i=1<br />
A 〈a j,b j 〉<br />
i<br />
f(x 〈a j,b j 〉<br />
i<br />
)<br />
⎝=<br />
k∑<br />
Q 〈a j,b j 〉 (f) ⎠,<br />
kdex 〈a j,b j 〉<br />
1 ,x 〈a j,b j 〉<br />
2 ,...,x 〈a j,b j 〉<br />
n jsou uzly kvadraturní formuleQ 〈a j,b j 〉 a A 〈a j,b j 〉<br />
1 , A 〈a j,b j 〉<br />
2 ,<br />
...,A 〈a j,b j 〉<br />
n koeficienty kvadraturní formuleQ 〈a j,b j 〉 .<br />
Pokud aproximujeme hodnotu integrálu funkcef pomocí složené <strong>Gaussovy</strong>-Legendrovy kvadraturní<br />
formule, dopustíme se jisté chyby. Tuto chybu označíme jako R(f) a její hodnotu jsme<br />
schopni vypočítat přesně jako součet rozdílů hodnot integrálů funkcef a hodnot <strong>Gaussovy</strong>-Legendrovy<br />
<strong>kvadratury</strong> na jednotlivých subintervalech, tj.<br />
⎛<br />
⎞<br />
k∑<br />
∫ b j<br />
⎜<br />
⎟<br />
R(f) = ⎝<br />
⎠.<br />
j=1<br />
j=1<br />
a j<br />
f(x)dx−Q 〈a j,b j 〉 (f)<br />
Často však počítáme s funkcí, jejíž integrál není možno spočítat analyticky. Není tudíž možné<br />
spočítat hodnotu chyby přesně a je nutné přistoupit k jejímu odhadu.<br />
Věta 6.4. Rozdělme interval 〈a,b〉 na k stejně velkých podintervalů. Necht’ n ∈ N je počet uzlů<br />
<strong>Gaussovy</strong>-Legendrovy kvadraturní formule v jednotlivých podintervalech a f je reálná funkce,<br />
která má na intervalu〈a,b〉 omezenou2n-tou derivaci. Pak pro chybu složené <strong>Gaussovy</strong>-Legendrovy<br />
<strong>kvadratury</strong> platí vztah<br />
|R(f)| ≤ Ω (b−a) 2n+1<br />
(2n)! 2 2n+1 k 2n I n, (22)<br />
přičemž<br />
I n =<br />
∫ 1<br />
−1<br />
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 dx,<br />
kde x 1 < x 2 < ··· < x n jsou kořeny Legendrova polynomu L 〈−1,1〉<br />
n<br />
pro každé x ∈ 〈a,b〉 platí |f (2n) (x)| ≤ Ω.<br />
a Ω je taková hodnota, že
Change language