Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 45
|R(f)| ≤0,000047407407+0,000024651852+0,000021807407+0,000024651852+
+0,000047407407 = 0,0001659259259.
Odhad chyby pro 5 subintervalů bude dokonce 1,24696331·10 8 krát větší a skutečná chyba
3,419346638 · 10 7 krát větší než příslušná hodnota v tabulce. Z toho vyplývá, že dosáhneme
výrazného zjednodušení, ale na úkor přesnosti.
6.1 Chyba složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury
Zaměříme-li se na příklad 6.4, odhad chyby i její skutečná hodnota se postupně snižovaly
s rostoucím počtem uzlů. Na druhou stranu však s rostoucím n roste stupeň Legendrova polynomu
a k získání jeho kořenů je nutné použít matematický software. Tím se však značně snižuje
význam Gaussovy-Legendrovy kvadratury. Nabízí se otázka, zda nebude efektivnější zadaný interval
nejprve rozdělit na k subintervalů, na kterých již budeme konstruovat Gaussovu-Legendrovu
kvadraturu s menším počtem uzlů.
Definice 6.2. Rozdělme interval 〈a,b〉 na k stejně dlouhých subintervalů. Složenou Gaussovou-
Legendrovou kvadraturou na intervalu〈a,b〉 rozumíme předpis
Q 〈a,b〉
S
: f ↦→
k∑
n∑
j=1 i=1
A 〈a j,b j 〉
i
f(x 〈a j,b j 〉
i
)(=
k∑
Q 〈a j,b j 〉 (f)), (21)
∑
který každé funkci f spojité na intervalu 〈a,b〉, kde a,b ∈ R,a < b, přiřadí číslo k Q 〈a j,b j 〉 (f).
Hodnotya j ,b j ,j ∈ {1,2,...,k} jsou krajní body jednotlivých subintervalů a platí
a j =a+(j −1) b−a
k ,
b j =a+j b−a
k .
Hodnoty x 〈a j,b j 〉
1 , x 〈a j,b j 〉
2 ,...,x 〈a j,b j 〉
n , kde a j ≤ x 〈a j,b j 〉
1 < x 〈a j,b j 〉
2 < ··· < x 〈a j,b j 〉
n ≤ b j ,
jsou kořeny Legendrova polynomuL 〈a j,b j 〉
n aA 〈a j,b j 〉
1 ,A 〈a j,b j 〉
2 ,...,A 〈a j,b j 〉
n ∈ R jsou jim příslušné
koeficienty kvadraturní formuleQ 〈a j,b j 〉 .
Pro další úvahy je nejprve nutné uvést následující větu.
Věta 6.2. (aditivita určitého integrálu vzhledem k mezím) Necht’f je funkce integrovatelná na intervalu
〈a,b〉. Bud’ c ∈ (a,b) libovolné. Pak je f integrovatelná na intervalech 〈a,c〉 a 〈c,b〉
a platí
∫ b ∫ c ∫ b
f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx.
Důkaz. Důkaz je rozebrán v literatuře [1].
a
a
c
j=1
j=1