Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 42 Funkci budeme odhadovat podobně jako v předchozím příkladu, tentokrát s využitím matematického softwaru. |f (8) (x)| ≤ 16·145 = 2320 (∀x ∈ 〈−1,1〉). Po dosazení do vzorce (20) platí |R(f)| ≤ 2320 ∫ 1 √ √ √ √ 525+70 30 525−70 30 (x+ ) 2 (x+ ) 2 40320 35 35 −1 √ √ √ √ 525−70 30 525+70 30 (x− ) 2 (x− ) 2 dx = 0,0006680344064. 35 35 Hodnota integrálu se tedy bude nacházet v intervalu 〈1,492666587;1,494002655〉, což je ve srovnání s předchozím výsledkem mnohem přesnější odhad. Poznámka 6.3. Budeme sledovat, jak se mění chyba aproximace v závislosti na počtu uzlů. S vyšším stupněm Legendrových polynomů je pro jejich složitost nutné k výpočtu kořenů používat matematický software a hodnoty již nejsou úplně přesné, nebot’ se jejich kořeny již musí počítat numericky. Příklad 6.4. Určete odhad chyby a skutečnou chybu aproximace hodnoty integrálu ∫ 1 −1 e −x2 dx pomocí Gaussovy-Legendrovy kvadratury s n uzly, kde n ∈ {2,3,...,10}. Odhady chyb aproximace počítané pomocí vzorců a skutečné chyby počítané pomocí softwaru můžeme vidět v následující tabulce. V posledním sloupci rovněž můžeme sledovat poměr odhadu chyby vůči chybě skutečné.
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 43 Počet uzlů Odhad chyby Skutečná chyba Poměr chyb 2 1,48148·10 −1 6,05856·10 −2 2,45 3 1,21904·10 −2 5,03133·10 −3 2,42 4 6,68034·10 −4 3,13644·10 −4 2,13 5 3,15415·10 −5 1,56551·10 −5 2,01 6 1,26593·10 −6 6,23933·10 −7 2,03 7 4,40590·10 −8 2,32464·10 −8 1,89 8 1,61852·10 −9 7,25840·10 −10 2,23 9 5,20346·10 −11 2,01498·10 −11 2,58 10 1,33064·10 −12 5,03488·10 −13 2,64 Jak můžeme vidět, se zvyšujícím se počtem uzlů klesá hodnota skutečné chyby i její odhad. Poměr odhadu chyby a skutečné chyby se pohybuje mezi hodnotami1,89 a2,64. Poznámka 6.4. Zabývejme se opět funkcí f(x) = e −x2 na intervalu 〈−1,1〉. Nyní budeme zkoumat, jak se změní odhad chyby a skutečná chyba v případě, že se rozhodneme interval nejprve rozdělit tak, abychom zachovali počet uzlů a zároveň na každém subintervalu konstruovali Gaussovu-Legendrovu kvadraturu jen pro dva, případně tři uzly. Výsledky pak můžeme porovnávat s hodnotami ve výše uvedené tabulce. Uvažujme nejprve 4 uzly. Tentokrát však nebudeme potřebovat Legendrův polynom čtvrtého stupně, místo toho si interval 〈−1,1〉 rozdělíme na dva subintervaly se dvěma uzly v každém subintervalu, I 1 = 〈−1,0〉, I 2 = 〈0,1〉 a na těchto intervalech již budeme konstruovat Gaussovy-Legendrovy kvadratury pouze pro dva uzly. Zaměřme se nejprve na intervalI 1 . Postup bude stejný jako v předchozích příkladech. Hodnota Gaussovy-Legendrovy kvadraturyQ 〈−1,0〉 1 bude a hodnota Q 〈0,1〉 2 Q 〈−1,0〉 1 (f) = 0,7465946883 Q 〈0,1〉 2 (f) = 0,7465946883. Výsledná hodnota složené Gaussovy-Legendrovy kvadraturyQ 〈−1,1〉 s a Q 〈0,1〉 2 , to znamená Q 〈−1,1〉 s (f) = 1,493189377. bude součtemQ 〈−1,0〉 1
- Page 1: VŠB - Technická univerzita Ostrav
- Page 5 and 6: Abstrakt Gaussova kvadratura je jed
- Page 7 and 8: OBSAH 7 11 Závěr 70 12 Literatura
- Page 9 and 10: 1 ÚVOD 9 1 Úvod Na základě pozn
- Page 11 and 12: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 13 and 14: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 15 and 16: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
- Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
- Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
- Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
- Page 25 and 26: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
- Page 27 and 28: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2
- Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
- Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 33 and 34: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 35 and 36: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 39 and 40: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 41: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 45 and 46: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 47 and 48: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 49 and 50: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 51 and 52: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 53 and 54: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 55 and 56: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 57 and 58: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
- Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
- Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 65 and 66: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 67 and 68: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
- Page 69 and 70: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
- Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 42<br />
Funkci budeme odhadovat podobně jako v předchozím příkladu, tentokrát s využitím matematického<br />
softwaru.<br />
|f (8) (x)| ≤ 16·145 = 2320 (∀x ∈ 〈−1,1〉).<br />
Po dosazení do vzorce (20) platí<br />
|R(f)| ≤ 2320 ∫ 1 √ √ √ √<br />
525+70 30 525−70 30<br />
(x+ ) 2 (x+ ) 2<br />
40320 35 35<br />
−1<br />
√ √ √ √<br />
525−70 30 525+70 30<br />
(x− ) 2 (x− ) 2 dx = 0,0006680344064.<br />
35 35<br />
Hodnota integrálu se tedy bude nacházet v intervalu<br />
〈1,492666587;1,494002655〉,<br />
což je ve srovnání s předchozím výsledkem mnohem přesnější odhad.<br />
Poznámka 6.3. Budeme sledovat, jak se mění chyba aproximace v závislosti na počtu uzlů.<br />
S vyšším stupněm Legendrových polynomů je pro jejich složitost nutné k výpočtu kořenů používat<br />
matematický software a hodnoty již nejsou úplně přesné, nebot’ se jejich kořeny již musí počítat<br />
numericky.<br />
Příklad 6.4. Určete odhad chyby a skutečnou chybu aproximace hodnoty integrálu<br />
∫ 1<br />
−1<br />
e −x2 dx pomocí <strong>Gaussovy</strong>-Legendrovy <strong>kvadratury</strong> s n uzly, kde n ∈ {2,3,...,10}. Odhady<br />
chyb aproximace počítané pomocí vzorců a skutečné chyby počítané pomocí softwaru můžeme<br />
vidět v následující tabulce. V posledním sloupci rovněž můžeme sledovat poměr odhadu chyby<br />
vůči chybě skutečné.
Change language