Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 41
Poznámka 6.2. Dále můžeme zjistit, jak se změní hodnota Gaussovy-Legendrovy kvadratury a odhad
chyby v případě, že zvýšíme počet uzlů. Postup bude stejný jako v předchozím příkladu.
Příklad 6.3. Pomocí Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule o čtyřech uzlech určete přibližně
hodnotu integrálu
∫ 1
−1
e −x2 dx a určete chybu aproximace.
Necht’ tedyn = 4, f(x) = e −x2 , x ∈ 〈−1,1〉.
Legendrův polynom4. stupně na intervalu〈−1,1〉 bude mít kořeny
√
525+70 √ √
30 525−70 √ √
30 525−70 √ √
30 525+70 √ 30
x 1 = −
35
,x 2 = −
35
,x 3 =
35
,x 4 =
35
.
Vypočítáme koeficienty kvadraturní formule řešením následující soustavy rovnic.
Q 〈−1,1〉 (1) = A 1 +A 2 +A 3 +A 4 =
∫ 1
−1
Q 〈−1,1〉 (x) = A 1 x 1 +A 2 x 2 +A 3 x 3 +A 4 x 4 =
Q 〈−1,1〉 (x 2 ) = A 1 x 2 1 +A 2 x 2 2 +A 3 x 2 3 +A 4 x 2 4 =
Q 〈−1,1〉 (x 3 ) = A 1 x 3 1 +A 2 x 3 2 +A 3 x 3 3 +A 4 x 3 4 =
1dx = 2
Získané koeficienty budouA 1 = A 4 = −√ √
30+18
180
, A 2 = A 3 = 30+18
36
.
∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1
xdx = 0
x 2 dx = 2 3
x 3 dx = 0.
Na základě získaných hodnot můžeme sestavit Gaussovu-Legendrovu kvadraturu
Q 〈−1,1〉 (f) = −√ √ √
30+18
e −(− 525+70 √ √
30
) 35 2 30+18
+ e −(− 525−70 √ 30
) 35 2 +
180
36
Po vyčíslení dostaneme
+
√
30+18
36
e −( √
525−70 √ 30
Q 〈−1,1〉 (f) = 1,493334621.
35 ) 2 + −√ 30+18
180
e −( √
525+70 √ 30
35 ) 2 .
Přistoupíme k odhadu chyby. Nejdříve nás bude zajímat odhad 8. derivace (n = 4), jejíž
předpis bude
f (8) (x) = 16e −x2 (105−840x 2 +840x 4 −224x 6 +16x 8 ).