Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 39
Gaussovu-Legendrovu kvadraturu budeme konstruovat podle předpisu
Q 〈−1,1〉 (f) = A 1 f(x 1 )+A 2 f(x 2 )+A 3 f(x 3 ),
kdex 1 ,x 2 ,x 3 jsou kořeny Legendrova polynomuL 〈−1,1〉
3 aA 1 ,A 2 ,A 3 koeficienty kvadraturní formuleQ
〈−1,1〉 .
Nejprve spočítáme hodnotyx 1 ,x 2 ,x 3 . Kvadraturní formuli uvažujeme na intervalu〈−1,1〉, takže
Legendrův polynom bude mít tvar
√ √
s kořeny x 1 = − 15
5 , x 2 = 0, x 3 = 15
5 .
L 〈−1,1〉
3 (x) = x 3 − 3 5 x
Dále vypočítáme koeficienty kvadraturní formule jako řešení následující soustavy rovnic
Q 〈−1,1〉 (1) = A 1 +A 2 +A 3 =
√ )
15
Q 〈−1,1〉 (x) = A 1
(−
5
∫ 1
−1
+A 2 ·0+A 3
√
15
5
1dx = 2
=
∫ 1
−1
xdx = 0
√ ) 2 (√ ) 2 ∫ 15
Q 〈−1,1〉 (x 2 ) = A 1
(−
1
15
+A 2 ·0+A 3 + = x 2 dx = 2 5 5 3 .
−1
Vyřešením soustavy rovnic získáváme koeficientyA 1 = 5 9 ,A 2 = 8 9 ,A 3 = 5 9
. Předpis pro Gaussovu-
Legendrovu kvadraturu bude vypadat následovně
Q 〈−1,1〉 (f) = 5 9 f(x 1)+ 8 9 f(x 2)+ 5 9 f(x 3) = 5 9 e−( √
15
5 )2 + 8 9 e0 + 5 9 e−(− √
15
5 )2 .
Po vyčíslení dostáváme
Q 〈−1,1〉 (f) = 1,498679596.
Přibližná hodnota integrálu spočítaná pomocí Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule tedy
bude 1,498679596. Dále je třeba zjistit, jaké chyby se touto aproximací dopustíme. Pro odhad
chyby budeme opět používat vztah
|R(f)| ≤ Ω ∫ b
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 dx.
(2n)!
a
Nejprve odhadneme hodnotu šesté derivace funkcef (n = 3), která má následující tvar
f (6) (x) = 8e −x2 (−15+90x 2 −60x 4 +8x 6 ).