Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

More documents

Recommendations

Info

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 38 Absolutní hodnotu skutečné chyby Gaussovy-Legendrovy kvadratury vypočítáme jako ∫ 2 |R(f)| = | −1 cos(x)dx−Q 〈−1,2〉 (x)| = 0,0008885280. Pro shrnutí, odkad chyby spočítaný pomocí vzorce (20) je přibližně 0,001085, skutečná chyba aproximace pak0,000889. Poznámka 6.1. V předchozím příkladu jsme se zabývali konstrukcí Gaussovy-Legendrovy kvadratury funkce, u níž není obtížné spočítat integrál analyticky. Účelem konstrukce Gaussovy- Legendrovy kvadratury je však spočítat integrál funkce, pro kterou analytické řešení není možné nebo je příliš složité. V dalších příkladech se tedy budeme zabývat právě těmito funkcemi. Příklad 6.2. Pomocí Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule o třech uzlech určete přibližně hodnotu integrálu ∫ 1 −1 e −x2 dx a určete chybu aproximace. Platí:f(x) = e −x2 ,x ∈ 〈−1,1〉,n = 3. Pro ilustraci, graf funkcef bude vypadat následovně. Obrázek 6: Graf funkcee −x2 .
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 39 Gaussovu-Legendrovu kvadraturu budeme konstruovat podle předpisu Q 〈−1,1〉 (f) = A 1 f(x 1 )+A 2 f(x 2 )+A 3 f(x 3 ), kdex 1 ,x 2 ,x 3 jsou kořeny Legendrova polynomuL 〈−1,1〉 3 aA 1 ,A 2 ,A 3 koeficienty kvadraturní formuleQ 〈−1,1〉 . Nejprve spočítáme hodnotyx 1 ,x 2 ,x 3 . Kvadraturní formuli uvažujeme na intervalu〈−1,1〉, takže Legendrův polynom bude mít tvar √ √ s kořeny x 1 = − 15 5 , x 2 = 0, x 3 = 15 5 . L 〈−1,1〉 3 (x) = x 3 − 3 5 x Dále vypočítáme koeficienty kvadraturní formule jako řešení následující soustavy rovnic Q 〈−1,1〉 (1) = A 1 +A 2 +A 3 = √ ) 15 Q 〈−1,1〉 (x) = A 1 (− 5 ∫ 1 −1 +A 2 ·0+A 3 √ 15 5 1dx = 2 = ∫ 1 −1 xdx = 0 √ ) 2 (√ ) 2 ∫ 15 Q 〈−1,1〉 (x 2 ) = A 1 (− 1 15 +A 2 ·0+A 3 + = x 2 dx = 2 5 5 3 . −1 Vyřešením soustavy rovnic získáváme koeficientyA 1 = 5 9 ,A 2 = 8 9 ,A 3 = 5 9 . Předpis pro Gaussovu- Legendrovu kvadraturu bude vypadat následovně Q 〈−1,1〉 (f) = 5 9 f(x 1)+ 8 9 f(x 2)+ 5 9 f(x 3) = 5 9 e−( √ 15 5 )2 + 8 9 e0 + 5 9 e−(− √ 15 5 )2 . Po vyčíslení dostáváme Q 〈−1,1〉 (f) = 1,498679596. Přibližná hodnota integrálu spočítaná pomocí Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule tedy bude 1,498679596. Dále je třeba zjistit, jaké chyby se touto aproximací dopustíme. Pro odhad chyby budeme opět používat vztah |R(f)| ≤ Ω ∫ b (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 dx. (2n)! a Nejprve odhadneme hodnotu šesté derivace funkcef (n = 3), která má následující tvar f (6) (x) = 8e −x2 (−15+90x 2 −60x 4 +8x 6 ).
Page 1: VŠB - Technická univerzita Ostrav
Page 5 and 6: Abstrakt Gaussova kvadratura je jed
Page 7 and 8: OBSAH 7 11 Závěr 70 12 Literatura
Page 9 and 10: 1 ÚVOD 9 1 Úvod Na základě pozn
Page 11 and 12: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
Page 25 and 26: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
Page 27 and 28: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2
Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
Page 37: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
Page 41 and 42: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
Page 65 and 66: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
Page 67 and 68: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
Page 69 and 70: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]

Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?