Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 37
Kořeny Legendrova polynomu transformovaného na interval〈a,b〉 můžeme spočítat dle vzorce
Po dosazení
x 〈a,b〉 = x〈−1,1〉 +1
(b−a)+a.
2
x 〈−1,2〉 = 3(x〈−1,1〉 +1)
2
−1.
Hodnoty kořenů budou x 1 = − 3√ 15
10
+ 1 2 ,x 2 = 1 2 ,x 3 = 3√ 15
10
+ 1 2 .
Vypočítáme koeficienty kvadraturní formule
Q 〈−1,2〉 (x) = A 1
(
Q 〈−1,2〉 (x 2 ) = A 1
(
Q 〈−1,2〉 (1) = A 1 +A 2 +A 3 =
)
− 3√ 15
10 + 1 2
∫ 2
−1
2
− 3√ 15
10 2) + 1 ( ) (
1
2
+A 2 +A 3
2
Vyřešením soustavy rovnic získáme A 1 = 5 6 ,A 2 = 4 3 ,A 3 = 5 6 .
1dx = 3
(
1
+A 2
2 +A 3 √ )
15
3
10 + 1 ∫ 2
= xdx = 3 2 2
−1
Sestavíme Gaussovu-Legendrovu kvadraturu
(
Q 〈−1,2〉 (f) = 5 6 cos −3 √ (
15
+
)+ 1 4 10 2 3 cos 1 2 + 5 6 cos 3 √ )
15
10 + 1 2
Pro výpočet odhadu chyby použijeme vztah
|R(f)| ≤ Ω ∫ b
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 dx.
(2n)!
a
Nejprve je nutné odhadnout hodnotu šesté derivace funkce f (n = 3)
Víme, že
f (6) (x) = −cosx.
|f (6) (x)| ≤ 1.
Pro chybu Gaussovy-Legendrovy kvadratury platí odhad
|R(f)| ≤ 1
720
∫ 2
−1
3 √ ) 2
15
10 + 1 ∫ 2
= x 2 dx = 3.
2
−1
= 1,751656940.
(x+ 3√ 15
10 − 1 2 )2 (x− 1 2 )2 (x− 3√ 15
10 − 1 2 )2 dx = 0,001084821427.