Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 36
6 Gaussova-Legendrova kvadraturní formule
První z kvadraturních forem, jimiž se budeme zabývat, je Gaussova-Legendrova kvadratura.
Právě tuto formuli budeme v rámci práce detailně rozebírat.
Definice 6.1. Uvažujme váhovou funkci w(x) = 1 na intervalu I = 〈a,b〉. Polynomy, které
získáme ortogonalizací posloupnosti1,x,x 2 ,... vzhledem ke skalárnímu součinu
〈u,v〉 =
∫ b
a
u(x)v(x)dx,
jsou Legendrovy polynomy. Gaussovu kvadraturní formuli pro aproximaci integrálu
∫ b
a
f(x)dx
budeme nazývat Gaussova-Legendrova kvadraturní formule.
Věta 6.1. Necht’ f je reálná funkce, která má na intervalu〈a,b〉 omezenou 2n-tou derivaci
(n ∈ N). Pak pro chybu Gaussovy-Legendrovy kvadratury platí vztah
|R(f)| ≤ Ω
(2n)!
∫ b
a
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 dx, (20)
kde x 1 < x 2 < ··· < x n jsou kořeny Legendrova polynomu L 〈a,b〉
n
pro každé x ∈ 〈a,b〉 platí |f (2n) (x)| ≤ Ω.
a Ω je taková hodnota, že
Důkaz. Obecný důkaz byl proveden v kapitole 5.7.
Příklad 6.1. Pomocí Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule o třech uzlech určete přibližně
hodnotu integrálu
∫ 2
−1
Platí:f(x) = cosx,x ∈ 〈−1,2〉,n = 3.
cosxdx a odhadněte chybu aproximace.
Uzly x 1 ,x 2 ,x 3 jsou kořeny Legendrova polynomu třetího stupně, který získáme transformací
polynomu
L 〈−1,1〉
3 (x) = x 3 − 3 5 x
pomocí vztahu (4). Kořeny Legendrova polynomuL 〈−1,1〉 budou vypadat následovně
x 〈−1,1〉 √
1 = − 15
5 ,x〈−1,1〉 2 = 0,x 〈−1,1〉 √
3 = 15
5 .