Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘESNOST 34 Věta 5.5. Necht’ f je reálná funkce, která má na intervalu I omezenou 2n-tou derivaci (n ∈ N). Pak pro chybu Gaussovy kvadratury platí vztah |R(f)| ≤ Ω ∫ (2n)! I (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 w(x)dx, (17) kde x 1 < x 2 < ··· < x n jsou kořeny polynomu p I n, w je váhová funkce a Ω je takové číslo, že pro všechnax ∈ I platí|f (2n) (x)| ≤ Ω. Důkaz. Funkci f interpolujeme pomocí Hermitova interpolačního polynomu H 2n−1 , který budeme konstruovat v bodech x 1 ,x 2 ,...,x n ∈ I (jeho stupeň tedy bude nejvýše 2n−1). Pro tento polynom platí podmínky H 2n−1 (x i ) = f(x i ) proi ∈ {1,2,...,n}, H ′ 2n−1 (x i) = f ′ (x i ) proi ∈ {1,2,...,n}. Hodnoty x i ,i ∈ {1,2,...,n} jsou uzly Gaussovy kvadraturní formule. Hodnotu funkce f můžeme vyjádřit jako f(x) = H 2n−1 (x)+R(x), (18) kde R(x) bude dle věty 4.4 R(x) = (x−x 1) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 f (2n) (ξ x ). (19) (2n)! Místo ξ píšeme ξ x , nebot’ hodnota ξ závisí na volbě proměnné x. Pro každé x z intervalu I platí, že rovněž příslušné ξ x leží v intervaluI. Na základě vztahů (16) a (18) můžeme vyjádřit chybu Gaussovy kvadraturní formule ve tvaru ⎛ ⎞ ∫ n∑ ∫ n∑ R(f) = f(x)w(x)dx− A i f(x i ) = ⎝ H 2n−1 (x)w(x)dx− A i H 2n−1 (x i ) ⎠+ I ⎛ ∫ + ⎝ I i=1 R(x)w(x)dx− I ⎞ n∑ A i R(x i ) ⎠. i=1 Kvadraturní formule má dle věty 5.4 stupeň přesnosti (2n − 1), takže rozdíl v první závorce bude roven nule. Navíc víme, že pro jednotlivé uzly Hermitův polynom nabývá stejných hodnot jako funkcef. Z toho vyplývá, žeR(x i ) = 0. Dostáváme rovnost ∫ R(f) = R(x)w(x)dx. I i=1
5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘESNOST 35 S použitím (19) získáme vztah ∫ R(f) = I (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 f (2n) (ξ x )w(x)dx. (2n)! Pro absolutní hodnotu chyby aproximace platí ∫ |R(f)| = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 f (2n) (ξ x )w(x)dx ∣ (2n)! ∣ ≤ I ∫ ≤ (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 ∣ f (2n) (ξ x )w(x) (2n)! ∣ dx. I Nerovnost můžeme následně upravit, jelikož výrazy (x−x 1) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n) 2 (2n)! aw(x) jsou nezáporné. Získáme ∫ (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 |R(f)| ≤ |f (2n) (ξ x )|w(x)dx. (2n)! I Dle dokazované věty můžeme odhadnout funkcif (2n) na intervaluI Dosazením získáme následující vztah Hodnota ∫ |R(f)| ≤ I |f (2n) (ξ x )| ≤ Ω. (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 Ωw(x)dx. (2n)! Ω (2n)! je nezávislá na proměnnéx, můžeme ji tedy vytknout před integrál, čímž obdržíme |R(f)| ≤ Ω ∫ (2n)! I (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 w(x)dx.
- Page 1: VŠB - Technická univerzita Ostrav
- Page 5 and 6: Abstrakt Gaussova kvadratura je jed
- Page 7 and 8: OBSAH 7 11 Závěr 70 12 Literatura
- Page 9 and 10: 1 ÚVOD 9 1 Úvod Na základě pozn
- Page 11 and 12: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 13 and 14: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 15 and 16: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
- Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
- Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
- Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
- Page 25 and 26: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
- Page 27 and 28: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2
- Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
- Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 33: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 39 and 40: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 41 and 42: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 43 and 44: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 45 and 46: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 47 and 48: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 49 and 50: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 51 and 52: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 53 and 54: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 55 and 56: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 57 and 58: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
- Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
- Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 65 and 66: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 67 and 68: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
- Page 69 and 70: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
- Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]
5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘESNOST 35<br />
S použitím (19) získáme vztah<br />
∫<br />
R(f) =<br />
I<br />
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2<br />
f (2n) (ξ x )w(x)dx.<br />
(2n)!<br />
Pro absolutní hodnotu chyby aproximace platí<br />
∫<br />
|R(f)| =<br />
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2<br />
f (2n) (ξ x )w(x)dx<br />
∣ (2n)!<br />
∣ ≤<br />
I<br />
∫<br />
≤<br />
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2<br />
∣<br />
f (2n) (ξ x )w(x)<br />
(2n)!<br />
∣ dx.<br />
I<br />
Nerovnost můžeme následně upravit, jelikož výrazy (x−x 1) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n) 2<br />
(2n)!<br />
aw(x) jsou nezáporné.<br />
Získáme<br />
∫<br />
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2<br />
|R(f)| ≤<br />
|f (2n) (ξ x )|w(x)dx.<br />
(2n)!<br />
I<br />
Dle dokazované věty můžeme odhadnout funkcif (2n) na intervaluI<br />
Dosazením získáme následující vztah<br />
Hodnota<br />
∫<br />
|R(f)| ≤<br />
I<br />
|f (2n) (ξ x )| ≤ Ω.<br />
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2<br />
Ωw(x)dx.<br />
(2n)!<br />
Ω<br />
(2n)!<br />
je nezávislá na proměnnéx, můžeme ji tedy vytknout před integrál, čímž obdržíme<br />
|R(f)| ≤ Ω ∫<br />
(2n)!<br />
I<br />
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 w(x)dx.
Change language