Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘESNOST 34
Věta 5.5. Necht’ f je reálná funkce, která má na intervalu I omezenou 2n-tou derivaci (n ∈ N).
Pak pro chybu Gaussovy kvadratury platí vztah
|R(f)| ≤ Ω ∫
(2n)!
I
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 w(x)dx, (17)
kde x 1 < x 2 < ··· < x n jsou kořeny polynomu p I n, w je váhová funkce a Ω je takové číslo, že
pro všechnax ∈ I platí|f (2n) (x)| ≤ Ω.
Důkaz. Funkci f interpolujeme pomocí Hermitova interpolačního polynomu H 2n−1 , který budeme
konstruovat v bodech x 1 ,x 2 ,...,x n ∈ I (jeho stupeň tedy bude nejvýše 2n−1). Pro tento
polynom platí podmínky
H 2n−1 (x i ) = f(x i ) proi ∈ {1,2,...,n},
H ′ 2n−1 (x i) = f ′ (x i ) proi ∈ {1,2,...,n}.
Hodnoty x i ,i ∈ {1,2,...,n} jsou uzly Gaussovy kvadraturní formule. Hodnotu funkce f
můžeme vyjádřit jako
f(x) = H 2n−1 (x)+R(x), (18)
kde R(x) bude dle věty 4.4
R(x) = (x−x 1) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2
f (2n) (ξ x ). (19)
(2n)!
Místo ξ píšeme ξ x , nebot’ hodnota ξ závisí na volbě proměnné x. Pro každé x z intervalu I
platí, že rovněž příslušné ξ x leží v intervaluI.
Na základě vztahů (16) a (18) můžeme vyjádřit chybu Gaussovy kvadraturní formule ve tvaru
⎛
⎞
∫
n∑
∫
n∑
R(f) = f(x)w(x)dx− A i f(x i ) = ⎝ H 2n−1 (x)w(x)dx− A i H 2n−1 (x i ) ⎠+
I
⎛
∫
+ ⎝
I
i=1
R(x)w(x)dx−
I
⎞
n∑
A i R(x i ) ⎠.
i=1
Kvadraturní formule má dle věty 5.4 stupeň přesnosti (2n − 1), takže rozdíl v první závorce
bude roven nule. Navíc víme, že pro jednotlivé uzly Hermitův polynom nabývá stejných hodnot
jako funkcef. Z toho vyplývá, žeR(x i ) = 0. Dostáváme rovnost
∫
R(f) = R(x)w(x)dx.
I
i=1