Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘESNOST 33
tedy
∫
I
σ(x)w(x)dx ortogonalita
=
n∑
A i ω(x i )s(x i ) +
i=1
} {{ }
=0
∫
I
n∑
A i r(x i ) =
i=1
r(x)w(x)dx stupeň Q
= Q I (r) =
n∑
A i r(x i ) =
i=1
n∑
A i (ω(x i )s(x i )+r(x i )) =
i=1
n∑
A i σ(x i ) = Q I (σ), (15)
nebot’ dle předpokladů uvedené věty má kvadraturní formule Q I stupeň přesnosti alespoň n−1.
Z důkazu vyplývá, že kvadraturní formuleQ I má stupeň přesnosti2n−1.
5.6 Možné potíže s konstrukcí kvadraturní formule dané přesnosti
V předchozích kapitolách jsme zjistili, že za jistých podmínek jsme schopni sestavit kvadraturní
formuli se stupněm přesnosti 2n − 1. Nabízí se otázka, zda je tato konstrukce možná
pro jakékoli přirozené číslo n. Mohlo by se totiž stát, že by příslušný ortogonální polynom p I n
například neměl reálné kořeny. Věta 3.1 nám však zaručuje, že podobná situace nenastane, tedy
že kvadraturní formuli stupně přesnosti 2n − 1 je možno sestrojit pro jakékoli přirozené číslo n,
kde n je počet uzlů kvadraturní formule.
i=1
5.7 Chyba Gaussovy kvadraturní formule
V případě, že budeme integrovat funkci, jejíž integrál není možné spočítat analyticky, případně
pokud je toto řešení příliš složité, můžeme hodnotu integrálu této funkce aproximovat pomocí
Gaussovy kvadraturní formuleQ I , tzn.
∫
n∑
f(x)w(x)dx ≈ A i f(x i )(= Q I (f)),
I
i=1
přičemž x 1 ,x 2 ,...,x n , které jsou kořeny polynomu p I n, nazýváme uzly kvadraturní formule Q I ,
A 1 ,A 2 ,...,A n koeficienty kvadraturní formuleQ I příslušné uzlůmx 1 ,x 2 ,...,x n spočítané podle
postupu z kapitoly 5.2 aw je váhová funkce.
Při takové aproximaci integrálu se obecně dopustíme chyby. Tuto chybu označímeR(f) a její
hodnotu jsme schopni vypočítat přesně jako rozdíl hodnoty integrálu funkce fw a hodnoty Gaussovy
kvadratury na příslušném intervalu.
∫
R(f) = f(x)w(x)dx−Q I (f). (16)
I
Naším cílem je ovšem odhadnout chybu v případě, kdy obecně nemáme k dispozici skutečnou
hodnotu integrálu funkce fw. Pro odhadování velikosti chyby, které se dopustíme, když integrál
funkcefw nahradíme Gaussovou kvadraturou, nám slouží Hermitův interpolační polynom, o němž
byla řeč v kapitole 4.2.