Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘESNOST 32
Polynom ω, který je stupně n, musí být kolmý (ve smyslu integrálního skalárního součinu
〈u,v〉 = ∫ u(x)v(x)w(x)dx) ke všem polynomům nižšího stupně. Polynom ω je n-tým ortogonálním
polynomem a jeho kořeny jsou zároveň uzly kvadraturní formuleQ I .
I
Na základě těchto úvah můžeme formulovat následující větu.
Věta 5.3. Má-li kvadraturní formule Q I ∑
(f) = n A i f(x i ) o n uzlech stupeň přesnosti 2n − 1,
i=1
pak uzly této formule musí být kořeny polynomup I n.
Definice 5.3. Kvadraturní formuli onuzlech se stupněm přesnosti2n−1 budeme nazývat Gaussova
kvadratura.
5.5 Postačující podmínka
Za vhodných podmínek je možné větu 5.3 obrátit.
Věta 5.4. Necht’ x 1 < x 2 < ··· < x n jsou kořeny polynomu p I n stupně n a navíc kvadraturní
formuleQ I ∑
(f) = n A i f(x i ) (onuzlech) má stupeň přesnosti alespoňn−1 (což lze zajistit díky
i=1
větě 5.1). Pak má tato formule stupeň přesnosti2n−1.
Důkaz. Opět definujeme polynom
ω(x) = (x−x 1 )(x−x 2 )(x−x 3 )...(x−x n )
stupněn, který je nenulovým násobkem polynomup I n (x 1 ,...,x n jsou vzhledem k předpokladům
věty 5.4 kořeny polynomu p I n). Dále uvažujeme libovolný polynom σ stupně nejvýše 2n − 1.
Pokud polynomσ vydělíme polynomemω se zbytkem, získáváme
kde platí:
st(s) ≤ 2n−1−n = n−1,st(r) ≤ n−1.
σ(x) = ω(x)s(x)+r(x),
Pak platí vztah
∫
∫
σ(x)w(x)dx =
∫
ω(x)s(x)w(x)dx+
r(x)w(x)dx.
I
I
I
Polynomp I n (a tedy i polynomω) je ortogonální vůči všem polynomům nižšího stupně, tudíž
∫
ω(x)s(x)w(x)dx = 0,
I