Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘESNOST 31
Q I (x n−1 ) = A 1 x1 n−1 +A 2 x2 n−1 +···+A n xn
n−1 = ∫ I
x n−1 w(x)dx.
Postupně dostáváme soustavu n rovnic s neznámými A 1 ,A 2 ,...,A n , kterou lze zapsat pomocí
maticeX.
Sloupce matice tvoří po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, tedy platí, že
X i,j = xj i−1 . Jedná se o Vandermondovu matici, která je regulární pro libovolnoun-tici navzájem
různých číselx 1 ,x 2 , . . . , x n . Více informací můžeme nalézt v literatuře [3].
5.3 Kvadraturní formule maximální přesnosti
Věta 5.2. Stupeň přesnosti libovolné kvadraturní formule Q I ∑
(f) = n A i f(x i ) o n uzlech je
nejvýše2n−1.
Důkaz. Zde se nabízí důkaz sporem. Předpokládejme, že existuje kvadraturní formule onuzlech,
která má stupeň přesnosti alespoň2n.
Definujeme pomocnou funkci ω(x) = (x−x 1 )(x−x 2 )(x−x 3 )...(x−x n ), která je polynomem
stupněn. Pak by muselo platit, že
∫
ω 2 (x)w(x)dx = Q I (ω 2 ∑
) = n A i ω 2 (x i ) = 0, jelikož ω 2 je stupně2n.
I
i=1
Zároveň však platí, že ω 2 w je spojitá nezáporná funkce, která není identicky nulová, musí tedy
mít kladný integrál. Tímto se dostáváme do sporu.
5.4 Nutná podmínka
V předchozí kapitole jsme vyloučili možnost sestrojení kvadraturní formule onuzlech se stupněm
přesnosti 2n. Nabízí se otázka, jaká situace by nastala, pokud bychom se pokusili pro stejný
počet uzlů sestavit kvadraturu se stupněm přesnosti o jedno menším, tedy2n−1. Rovněž vyvstává
otázka, zda je tato konstrukce možná pro jakékoli přirozené číslon.
Mějme tedy kvadraturní formuli
i=1
která má stupeň přesnosti2n−1.
Q I (f) =
n∑
A i f(x i ),
i=1
Opět definujeme pomocný polynomω(x) = (x−x 1 )(x−x 2 )(x−x 3 )...(x−x n ) stupněn.
Dále uvažujme libovolný polynompstupně nejvýšen−1. Pak platí, žeωp je polynomem stupně
nejvýše 2n−1. Dostáváme tedy vztah
∫
I
ω(x)p(x)w(x)dx = Q I (ωp) =
n∑
A i ω(x i )p(x i ) = 0.
i=1