Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘESNOST 30
5 Kvadraturní formule a její přesnost
5.1 Kvadraturní formule
Definice 5.1. Kvadraturní formulí na intervaluI rozumíme předpis
Q I : f ↦→
n∑
A i f(x i )(= Q I (f)), (13)
i=1
který každé funkci f spojité na intervalu I přiřadí číslo Q I (f). Čísla x 1 ,x 2 ,...,x n ∈ I, kde
x 1 < x 2 < ··· < x n , nazýváme uzly kvadraturní formule aA 1 ,A 2 ,...,A n ∈ R jsou koeficienty
kvadraturní formuleQ I .
Poznámka 5.1. Pomocí kvadraturní formule budeme aproximovat hodnotu integrálu funkce fw,
to znamená
∫
n∑
f(x)w(x)dx ≈ A i f(x i ) = Q I (f), (14)
kde w je váhová funkce (viz definice 3.1) .
I
i=1
Definice 5.2. Řekneme, že kvadraturní formule má stupeň přesnosti k ∈ N 0 , jestliže je vztah (14)
přesný pro všechny polynomy stupně nejvýšek a pro polynomy stupněk+1 se již nějaké (nenulové)
chyby dopustíme, tj.
∫ n∑
x j w(x)dx = A i x j i
pro každé j ∈ {0,1,...,k},
I
i=1
∫
I
x k+1 w(x)dx ≠
n∑
i=1
A i x k+1
i
.
5.2 Věta o existenci a jednoznačnosti
Věta 5.1. Pro libovolnou volbu uzlůx 1 < x 2 < ··· < x n z intervaluI, kden ∈ N, existuje právě
jedna kvadraturní formuleQ I ∑
(f) = n A i f(x i ), která má stupeň přesnosti alespoň n−1.
i=1
Důkaz. Chceme-li, aby měla kvadraturní formule stupeň přesnosti alespoň n−1, musí platit
Q I (1) = A 1 +A 2 +···+A n = ∫ I
w(x)dx
Q I (x) = A 1 x 1 +A 2 x 2 +···+A n x n = ∫ I
Q I (x 2 ) = A 1 x 2 1 +A 2x 2 2 +···+A nx 2 n = ∫
. . .
I
xw(x)dx
x 2 w(x)dx