Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 28
x 1 ,x 2 , ...,x n . Funkce F ′ bude mít v intervalu I alespoň 2n nulových bodů. Aplikací Rolleovy
věty získáme 2n−1 bodů, v nichž má funkce F nulovou druhou derivaci.
Opakovanou aplikací Rolleovy věty (podobně jako u Lagrangeova interpolacního polynomu)
zjistíme, že funkce F má (2n)-tou vlastní derivaci, jejíž hodnota je nulová alespoň pro jeden bod
ξ ∈ I.
Vztah pro2n-tou derivaci bude
F (2n) (t) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R (2n) (t)−(2n)!R(x).
Platí však, že R (2n) (x) = f (2n) (x), nebot’ polynom H je stupně nejvýše2n−1, tudíž
H (2n) (x) = 0.
Vztah můžeme přepsat do tvaru
F (2n) (t) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 f (2n) (t)−(2n)!R(x).
Za t dosadíme bodξ ∈ I. Víme, že platí F (2n) (ξ) = 0.
Následně vyjádřímeR(x). Rozdíl mezi hodnotou Hermitova polynomu a hodnotou zadané funkce
tedy můžeme vypočítat pomocí vzorce
kde ξ ∈ I.
R(x) = (x−x 1) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2
f (2n) (ξ), (12)
(2n)!
Zbývá vyšetřit situaci, kdyxnení různé odx 1 ,x 2 ,...,x n , tznx = x j pro některé
j ∈ {1,2,...,n}. Postup bude podobný jako v případě Lagrangeova interpolačního polynomu.
Po dosazení do pravé strany vztahu (12) bude rozdíl(x−x j ) nulový. Vzhledem k (10) platí rovněž
R(x j ) = 0. Vztah (12) tedy platí pro libovolné ξ ∈ I.
Příklad 4.5. Určete chybu interpolace Hermitovým interpolačním polynomem z příkladu 4.4.
Platí tedyf(x) = sin4x, x 1 = −1,x 2 = 0,x 3 = 1.
Nejprve je nutné určit interval, na kterém budeme počítat chybu Hermitova polynomu. Zvolíme
interval s krajními body x 1 a x 3 .
Dále spočítáme absolutní hodnotu chyby jako|R(x)| = |f(x)−H(x)|,−1 ≤ x ≤ 1. Předpis
proH jsme už získali v předchozím příkladu, tzn.
H(x) = 5 2 x3 sin(4)− 3 2 x5 sin(4)+2cos(4)x 5 −2cos(4)x 3 +4x 5 −8x 3 +4x.