Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 26 x i . h 1 (x) = − 1 4 (4+3x)x2 (x−1) 2 , h 2 (x) = 0, h 3 (x) = 1 4 (1−2(x−1)3 2 (x(x+1))2 a podle vzorceh i (x i ) = (x−x i )l 2 i (x i) spočítáme elementární polynomy h ′ i pro jednotlivé uzly. h 1 (x) = 1 4 (x+1)(x(x−1))2 , h 2 (x) = x(−(x+1)(x−1)) 2 , h 3 (x) = 1 4 (x−1)(x(x+1))2 . Lineární kombinací polynomů h i ,h i získáme výsledný Hermitův polynom H(x) = − 3 2 x5 sin(4)+2cos(4)x 5 + 5 2 x3 sin(4)−2cos(4)x 3 −8x 3 +4x 5 +4x. Graf Hermitova polynomu můžeme vidět na obrázku. Obrázek 4: Hermitův interpolační polynom příslušný k funkci f Červenou barvou je znázorněn graf funkcef, modrou pak Hermitův interpolační polynom.
4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2 Chyba Hermitova interpolačního polynomu Pokud se rozhodneme nahradit funkci f Hermitovým interpolačním polynomem, dopustíme se opět jisté nepřesnosti. Velikost chyby, které se dopustíme interpolací, bude funkcí proměnné x. Chybu interpolace pomocí Hermitova interpolačního polynomu budeme značit R a můžeme ji vyjádřit jako rozdíl skutečné funkční hodnoty a hodnoty Hermitova polynomu, tj. R(x) = f(x)−H(x), x ∈ Df. Postup určování chyby bude podobný jako v případě Lagrangeova polynomu. Věta 4.4. Necht’n ∈ N a necht’f je reálná funkce, která má v intervaluI vlastní2n-tou derivaci. Pak pro každé x ležící v intervaluI existuje bodξ z intervaluI takový, že platí R(x) = (x−x 1) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 f (2n) (ξ), (2n)! kde x 1 ,x 2 ,...,x n ∈ I, přičemž x 1 < x 2 < ··· < x n jsou body, v nichž konstruujeme Hermitův polynom. Důkaz. Platí, že hodnoty Hermitova polynomu v bodechx j odpovídají funkčním hodnotám funkce f a derivace Hermitova polynomu v bodechx j odpovídají derivacím funkcef, proto R(x j ) = 0 a R ′ (x j ) = 0 (∀j ∈ {1,2,...,n}). (10) Zvolme tedy pevně x ∈ I, které je různé od x 1 ,x 2 ,...,x n . Definujeme funkci F proměnné t jako F(t) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(t)−(t−x 1 ) 2 (t−x 2 ) 2 ...(t−x n ) 2 R(x). (11) Hodnota funkceF v bodechx j , kdej ∈ {1,2,...,n}, bude vzhledem k (10) F(x j ) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(x j ) = 0. Spočítáme také hodnoty první derivace funkce F v bodech x j . Zderivováním vztahu (11) podle proměnnétanásledným dosazenímx j zjistíme, že vzhledem k (10) platí F ′ (x j ) = 0, j ∈ {1,2,...,n}. Dále vypočítáme hodnotu funkceF v pevně zvoleném bodux. F(x) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(x)−(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(x) = 0. Ze získaných hodnot víme, že funkceF bude mít hodnotu0pronhodnotx 1 ,x 2 ,...,x n . Dále jsme zjistili, že F bude nulová i v pevně zvoleném bodu x. Na intervalu I uvažujeme n subintervalů s nulovými funkčními hodnotami v krajních bodech. Z Rolleovy věty o střední hodnotě víme, že na intervalech vymezených body x 1 ,x 2 ,...,x n ,x existuje n bodů, v nichž má funkce F nulovou derivaci. Navíc jsme spočítali, že funkce F bude mít nulové derivace také v bodech
- Page 1: VŠB - Technická univerzita Ostrav
- Page 5 and 6: Abstrakt Gaussova kvadratura je jed
- Page 7 and 8: OBSAH 7 11 Závěr 70 12 Literatura
- Page 9 and 10: 1 ÚVOD 9 1 Úvod Na základě pozn
- Page 11 and 12: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 13 and 14: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 15 and 16: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
- Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
- Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
- Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
- Page 25: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
- Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
- Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 33 and 34: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 35 and 36: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 39 and 40: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 41 and 42: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 43 and 44: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 45 and 46: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 47 and 48: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 49 and 50: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 51 and 52: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 53 and 54: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 55 and 56: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 57 and 58: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
- Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
- Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 65 and 66: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 67 and 68: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
- Page 69 and 70: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
- Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]
4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27<br />
4.2.2 Chyba Hermitova interpolačního polynomu<br />
Pokud se rozhodneme nahradit funkci f Hermitovým interpolačním polynomem, dopustíme<br />
se opět jisté nepřesnosti. Velikost chyby, které se dopustíme interpolací, bude funkcí proměnné<br />
x. Chybu interpolace pomocí Hermitova interpolačního polynomu budeme značit R a můžeme ji<br />
vyjádřit jako rozdíl skutečné funkční hodnoty a hodnoty Hermitova polynomu, tj.<br />
R(x) = f(x)−H(x), x ∈ Df.<br />
Postup určování chyby bude podobný jako v případě Lagrangeova polynomu.<br />
Věta 4.4. Necht’n ∈ N a necht’f je reálná funkce, která má v intervaluI vlastní2n-tou derivaci.<br />
Pak pro každé x ležící v intervaluI existuje bodξ z intervaluI takový, že platí<br />
R(x) = (x−x 1) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2<br />
f (2n) (ξ),<br />
(2n)!<br />
kde x 1 ,x 2 ,...,x n ∈ I, přičemž x 1 < x 2 < ··· < x n jsou body, v nichž konstruujeme Hermitův<br />
polynom.<br />
Důkaz. Platí, že hodnoty Hermitova polynomu v bodechx j odpovídají funkčním hodnotám funkce<br />
f a derivace Hermitova polynomu v bodechx j odpovídají derivacím funkcef, proto<br />
R(x j ) = 0 a R ′ (x j ) = 0 (∀j ∈ {1,2,...,n}). (10)<br />
Zvolme tedy pevně x ∈ I, které je různé od x 1 ,x 2 ,...,x n . Definujeme funkci F proměnné t<br />
jako<br />
F(t) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(t)−(t−x 1 ) 2 (t−x 2 ) 2 ...(t−x n ) 2 R(x). (11)<br />
Hodnota funkceF v bodechx j , kdej ∈ {1,2,...,n}, bude vzhledem k (10)<br />
F(x j ) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(x j ) = 0.<br />
Spočítáme také hodnoty první derivace funkce F v bodech x j . Zderivováním vztahu (11) podle<br />
proměnnétanásledným dosazenímx j zjistíme, že vzhledem k (10) platí<br />
F ′ (x j ) = 0, j ∈ {1,2,...,n}.<br />
Dále vypočítáme hodnotu funkceF v pevně zvoleném bodux.<br />
F(x) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(x)−(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(x) = 0.<br />
Ze získaných hodnot víme, že funkceF bude mít hodnotu0pronhodnotx 1 ,x 2 ,...,x n . Dále<br />
jsme zjistili, že F bude nulová i v pevně zvoleném bodu x. Na intervalu I uvažujeme n subintervalů<br />
s nulovými funkčními hodnotami v krajních bodech. Z Rolleovy věty o střední hodnotě<br />
víme, že na intervalech vymezených body x 1 ,x 2 ,...,x n ,x existuje n bodů, v nichž má funkce<br />
F nulovou derivaci. Navíc jsme spočítali, že funkce F bude mít nulové derivace také v bodech
Change language