Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

More documents

Recommendations

Info

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 26 x i . h 1 (x) = − 1 4 (4+3x)x2 (x−1) 2 , h 2 (x) = 0, h 3 (x) = 1 4 (1−2(x−1)3 2 (x(x+1))2 a podle vzorceh i (x i ) = (x−x i )l 2 i (x i) spočítáme elementární polynomy h ′ i pro jednotlivé uzly. h 1 (x) = 1 4 (x+1)(x(x−1))2 , h 2 (x) = x(−(x+1)(x−1)) 2 , h 3 (x) = 1 4 (x−1)(x(x+1))2 . Lineární kombinací polynomů h i ,h i získáme výsledný Hermitův polynom H(x) = − 3 2 x5 sin(4)+2cos(4)x 5 + 5 2 x3 sin(4)−2cos(4)x 3 −8x 3 +4x 5 +4x. Graf Hermitova polynomu můžeme vidět na obrázku. Obrázek 4: Hermitův interpolační polynom příslušný k funkci f Červenou barvou je znázorněn graf funkcef, modrou pak Hermitův interpolační polynom.
4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2 Chyba Hermitova interpolačního polynomu Pokud se rozhodneme nahradit funkci f Hermitovým interpolačním polynomem, dopustíme se opět jisté nepřesnosti. Velikost chyby, které se dopustíme interpolací, bude funkcí proměnné x. Chybu interpolace pomocí Hermitova interpolačního polynomu budeme značit R a můžeme ji vyjádřit jako rozdíl skutečné funkční hodnoty a hodnoty Hermitova polynomu, tj. R(x) = f(x)−H(x), x ∈ Df. Postup určování chyby bude podobný jako v případě Lagrangeova polynomu. Věta 4.4. Necht’n ∈ N a necht’f je reálná funkce, která má v intervaluI vlastní2n-tou derivaci. Pak pro každé x ležící v intervaluI existuje bodξ z intervaluI takový, že platí R(x) = (x−x 1) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 f (2n) (ξ), (2n)! kde x 1 ,x 2 ,...,x n ∈ I, přičemž x 1 < x 2 < ··· < x n jsou body, v nichž konstruujeme Hermitův polynom. Důkaz. Platí, že hodnoty Hermitova polynomu v bodechx j odpovídají funkčním hodnotám funkce f a derivace Hermitova polynomu v bodechx j odpovídají derivacím funkcef, proto R(x j ) = 0 a R ′ (x j ) = 0 (∀j ∈ {1,2,...,n}). (10) Zvolme tedy pevně x ∈ I, které je různé od x 1 ,x 2 ,...,x n . Definujeme funkci F proměnné t jako F(t) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(t)−(t−x 1 ) 2 (t−x 2 ) 2 ...(t−x n ) 2 R(x). (11) Hodnota funkceF v bodechx j , kdej ∈ {1,2,...,n}, bude vzhledem k (10) F(x j ) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(x j ) = 0. Spočítáme také hodnoty první derivace funkce F v bodech x j . Zderivováním vztahu (11) podle proměnnétanásledným dosazenímx j zjistíme, že vzhledem k (10) platí F ′ (x j ) = 0, j ∈ {1,2,...,n}. Dále vypočítáme hodnotu funkceF v pevně zvoleném bodux. F(x) = (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(x)−(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 R(x) = 0. Ze získaných hodnot víme, že funkceF bude mít hodnotu0pronhodnotx 1 ,x 2 ,...,x n . Dále jsme zjistili, že F bude nulová i v pevně zvoleném bodu x. Na intervalu I uvažujeme n subintervalů s nulovými funkčními hodnotami v krajních bodech. Z Rolleovy věty o střední hodnotě víme, že na intervalech vymezených body x 1 ,x 2 ,...,x n ,x existuje n bodů, v nichž má funkce F nulovou derivaci. Navíc jsme spočítali, že funkce F bude mít nulové derivace také v bodech
Page 1: VŠB - Technická univerzita Ostrav
Page 5 and 6: Abstrakt Gaussova kvadratura je jed
Page 7 and 8: OBSAH 7 11 Závěr 70 12 Literatura
Page 9 and 10: 1 ÚVOD 9 1 Úvod Na základě pozn
Page 11 and 12: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
Page 25: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
Page 65 and 66: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
Page 67 and 68: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
Page 69 and 70: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]

Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?