Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25
Podobným postupem získáme také polynomh i , který je rovněž stupně2n−1. Opět bude mít
kořeny x 1 ,x 2 ,...,x i−1 ,x i+1 ,...,x n , které jsou dvojnásobné, a kořen x i , který je jednoduchý.
Tvar polynomu h i bude podobný jako v předchozím případě
h i (x) = A i (x−x i )(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x i−1 ) 2 (x−x i+1 ) 2 ...(x−x n ) 2 .
Polynom lze přepsat do tvaru
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x i−1 ) 2 (x−x i+1 ) 2 ...(x−x n ) 2
h i (x) =B i (x−x i )
(x i −x 1 ) 2 (x i −x 2 ) 2 ...(x i −x i−1 ) 2 (x i −x i+1 ) 2 ...(x i −x n ) 2 =
=B i (x−x i )l 2 i(x),
i zde využíváme elementární Lagrangeovy interpolační polynomy pro příslušné body. Je zapotřebí
dopočítat hodnotuB i tak, aby platiloh ′ i(x i ) = 1.
h ′ i(x i ) = (B i (x−x i )l 2 i (x))′ | x=xi = B i l 2 i (x i)+2B i (x i −x i )l i (x i )l ′ i (x i) = B i = 1.
Polynomyh i tedy budou vypadat následovně
h i (x) = (x−x i )l 2 i(x),
i ∈ {1,2,...,n}.
Výsledný tvar Hermitova polynomu bude
H(x) =
+
n∑ n∑
h i (x)f(x i )+ h i (x)f ′ (x i ) =
i=1
i=0
n∑
(x−x i )li(x)f 2 ′ (x i ).
i=0
n∑
(1−2(x−x i )l i(x ′ i ))li(x)f(x 2 i )+
i=1
Příklad 4.4. Sestrojte Hermitův polynom příslušný k funkci f(x) = sin4x v bodech
x 1 = −1,x 2 = 0,x 3 = 1.
V první řadě vypočítáme elementární Lagrangeovy polynomy v jednotlivých bodech.
l 1 (x) = x(x−1)
2
,
l 2 (x) = −(x+1)(x−1),
l 3 (x) = x(x+1)
2
.
A následně jejich první derivace
l 1 ′(x) = x− 1 2 ,
l 2 ′ (x) = −2x,
l 3 ′(x) = x+ 1 2 .
Podle vzorceh i (x) = (1−2(x−x i )l ′ i (x i))l 2 i (x i) vypočteme elementární polynomyh i pro hodnoty