Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 24
h ′ i (x j) = 0, kdei,j ∈ {1,2,...,n},
h i (x j ) = 0, kdei,j ∈ {1,2,...,n},
h i
′
(xj ) = δ ij , kde i,j ∈ {1,2,...,n},
kde δ ij = 0, pokud i ≠ j aδ ij = 1, pokud i = j.
Nejprve sestrojíme polynomh i . Jak již bylo řečeno, tento polynom bude stupně2n−1 s kořeny
x 1 ,x 2 ,...,x i−1 ,x i+1 ,...,x n . Polynom bude mítn−1 dvojnásobných kořenů a bude ve tvaru
h i (x) = t i (x)(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x i−1 ) 2 (x−x i+1 ) 2 ...(x−x n ) 2 ,
kde t i je nějaký lineární polynom. Celý vztah lze upravit na tvar
h i (x) = u i (x) (x−x 1) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x i−1 ) 2 (x−x i+1 ) 2 ...(x−x n ) 2
(x i −x 1 ) 2 (x i −x 2 ) 2 ...(x i −x i−1 )(x i −x i+1 )...(x i −x n ) = u i(x)l 2 i(x),
kde l i je elementární Lagrangeův interpolační polynom příslušný uzlu x i získaný pomocí vzorce
(6). Polynomu i je lineární a lze ho vyjádřit jako
u i (x) = a i x+b i , kdei ∈ {1,2,...,n}.
Koeficientya i ,b i lze dopočítat z podmínek
h i (x i ) = 1, tj.
u i (x i )l 2 i (x i) = 1, kde hodnotal 2 i (x i) = 1, takže
u i (x i ) = 1
a
h ′ i (x i) = 0, tj.
(u i l 2 i )′ (x i ) = u ′ i (x i)l 2 i (x i)+2u i (x i )l i (x i )l ′ i (x i) = 0.
Dosazenímu i (x) = a i x+b i a vyřešením obou rovnic získáme koeficienty
a i = −2l ′ i (x i),
b i = 1+2x i l ′ i (x i).
Polynom u i bude ve tvaru
u i (x) = 1−2(x−x i )l ′ i(x i ),
i ∈ {1,2,...,n}
a hledaný polynom h i
h i (x) = (1−2(x−x i )l ′ i(x i ))l 2 i(x),
i ∈ {1,2,...,n}.