Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23
4.2 Hermitův interpolační polynom
Druhý typ interpolačního polynomu, kterým se budeme zabývat, je Hermitův interpolační polynom.
Opět hledáme polynom, jehož graf procházínuzlovými body se souřadnicemi[x 1 ,f(x 1 )],
[x 2 ,f(x 2 )], ...,[x n ,f(x n )], kdex 1 ,x 2 ,...,x n jsou navzájem různá čísla.
Oproti Lagrangeovu interpolačnímu polynomu zde však máme také požadavky na hodnoty derivací
různých stupňů ve vybraných uzlech. Hledáme tedy polynom, jehož graf prochází všemi uzlovými
body a ve vybraných bodech má odpovídající derivace. Pod pojmem uzlové body budeme
rozumět body se souřadnicemi [x 1 ,f(x 1 )], [x 2 ,f(x 2 )], ...,[x n ,f(x n )]. Stupeň Hermitova polynomu
bude dán počtem všech parametrů, které jsou pro hodnoty x 1 , x 2 , ...,x n zadány. Při konstrukci
obecného Hermitova polynomu tedy musíme počítat s jistou ”
nepravidelností,“ protože
v různých bodech může být zadán různý počet derivací různých stupňů. Důkaz existence obecného
Hermitova polynomu ovšem není nutné provádět.
Pro práci s kvadraturními formulemi nám bohatě stačí jednodušší případ, kdy máme pro každý
bod zadánu funkční hodnotu a hodnotu první derivace. Pro takto zadané parametry bude Hermitův
interpolační polynom zadaný pomocínbodů stupně nejvýše 2n−1.
Věta 4.3. Necht’ n ∈ N a necht’ funkce f : R → R má konečnou první derivaci na intervalu
I, přičemž platí x 1 < x 2 < ··· < x n leží v intervalu I. Pak existuje právě jeden Hermitův
interpolační polynom H stupně nejvýše 2n − 1 takový, že pro všechna j ∈ {1,2,...,n} platí
H(x j ) = f(x j ) a H ′ (x j ) = f ′ (x j ).
Důkaz. Důkaz jednoznačnosti bude podobný jako u Lagrangeova interpolačního polynomu. Předpokládejme
sporem, že existují dva různé polynomy H a H, které řeší úlohu Hermitovy interpolace.
Platí tedy H(x j ) = H(x j ) = f(x j ), H ′ (x j ) = H ′ (x j ) = f ′ (x j ). Polynom p = H − H
má alespoňnkořenů násobnosti2. Polynompje nenulový polynom stupně nejvýše2n−1 mající
alespoň 2n kořenů (kořeny jsou počítány včetně násobností). Polynom H −H by tedy musel být
identicky roven nule, čímž se dostáváme do sporu. Důkaz existence je opět konstruktivní.
4.2.1 Konstrukce Hermitova interpolačního polynomu
V každém uzlu x i (i ∈ {1,2,...,n}) máme zadánu funkční hodnotu f(x i ) a hodnotu první
derivacef ′ (x i ). Je třeba najít polynomH takový, aby platilo
H(x i ) = f(x i ) proi ∈ {1,2,...,n},
H ′ (x i ) = f ′ (x i ) proi ∈ {1,2,...,n}.
PolynomH budeme hledat ve tvaru
H(x) =
n∑ n∑
h i (x)f(x i )+ h i (x)f ′ (x i ),
i=1 i=1
kde h i ,h i jsou polynomy stupně 2n−1. Přitom stačí, aby platilo
h i (x j ) = δ ij , kde i,j ∈ {1,2,...,n},