Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Share Embed Flag
Download ePaper

Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

fei.vsb.cz
21.01.2015 Views

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 22 Obrázek 3: Chyba Lagrangeova interpolačního polynomu. Červenou barvou je znázorněna absolutní hodnota skutečné chybyR, modrou odhad chybyR o .

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 Hermitův interpolační polynom Druhý typ interpolačního polynomu, kterým se budeme zabývat, je Hermitův interpolační polynom. Opět hledáme polynom, jehož graf procházínuzlovými body se souřadnicemi[x 1 ,f(x 1 )], [x 2 ,f(x 2 )], ...,[x n ,f(x n )], kdex 1 ,x 2 ,...,x n jsou navzájem různá čísla. Oproti Lagrangeovu interpolačnímu polynomu zde však máme také požadavky na hodnoty derivací různých stupňů ve vybraných uzlech. Hledáme tedy polynom, jehož graf prochází všemi uzlovými body a ve vybraných bodech má odpovídající derivace. Pod pojmem uzlové body budeme rozumět body se souřadnicemi [x 1 ,f(x 1 )], [x 2 ,f(x 2 )], ...,[x n ,f(x n )]. Stupeň Hermitova polynomu bude dán počtem všech parametrů, které jsou pro hodnoty x 1 , x 2 , ...,x n zadány. Při konstrukci obecného Hermitova polynomu tedy musíme počítat s jistou ” nepravidelností,“ protože v různých bodech může být zadán různý počet derivací různých stupňů. Důkaz existence obecného Hermitova polynomu ovšem není nutné provádět. Pro práci s kvadraturními formulemi nám bohatě stačí jednodušší případ, kdy máme pro každý bod zadánu funkční hodnotu a hodnotu první derivace. Pro takto zadané parametry bude Hermitův interpolační polynom zadaný pomocínbodů stupně nejvýše 2n−1. Věta 4.3. Necht’ n ∈ N a necht’ funkce f : R → R má konečnou první derivaci na intervalu I, přičemž platí x 1 < x 2 < ··· < x n leží v intervalu I. Pak existuje právě jeden Hermitův interpolační polynom H stupně nejvýše 2n − 1 takový, že pro všechna j ∈ {1,2,...,n} platí H(x j ) = f(x j ) a H ′ (x j ) = f ′ (x j ). Důkaz. Důkaz jednoznačnosti bude podobný jako u Lagrangeova interpolačního polynomu. Předpokládejme sporem, že existují dva různé polynomy H a H, které řeší úlohu Hermitovy interpolace. Platí tedy H(x j ) = H(x j ) = f(x j ), H ′ (x j ) = H ′ (x j ) = f ′ (x j ). Polynom p = H − H má alespoňnkořenů násobnosti2. Polynompje nenulový polynom stupně nejvýše2n−1 mající alespoň 2n kořenů (kořeny jsou počítány včetně násobností). Polynom H −H by tedy musel být identicky roven nule, čímž se dostáváme do sporu. Důkaz existence je opět konstruktivní. 4.2.1 Konstrukce Hermitova interpolačního polynomu V každém uzlu x i (i ∈ {1,2,...,n}) máme zadánu funkční hodnotu f(x i ) a hodnotu první derivacef ′ (x i ). Je třeba najít polynomH takový, aby platilo H(x i ) = f(x i ) proi ∈ {1,2,...,n}, H ′ (x i ) = f ′ (x i ) proi ∈ {1,2,...,n}. PolynomH budeme hledat ve tvaru H(x) = n∑ n∑ h i (x)f(x i )+ h i (x)f ′ (x i ), i=1 i=1 kde h i ,h i jsou polynomy stupně 2n−1. Přitom stačí, aby platilo h i (x j ) = δ ij , kde i,j ∈ {1,2,...,n},

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 22<br />

Obrázek 3: Chyba Lagrangeova interpolačního polynomu.<br />

Červenou barvou je znázorněna absolutní hodnota skutečné chybyR, modrou odhad chybyR o .

logo

products

Resources

Company

Terms of service
Privacy policy
Cookie policy
Cookie settings
Imprint
Change language
Made with love in Switzerland
© 2024 Yumpu.com all rights reserved

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!