Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21
Příklad 4.3. Určete chybu interpolace Lagrangeovým interpolačním polynomem z příkladu 4.2.
Platí tedyf(x) = e x , x 1 = −1,x 2 = 0,x 3 = 1,x 4 = 2.
Už z grafu je patrné, že se při interpolaci funkce dopouštíme jisté chyby, která se mění v závislosti
na proměnné x. Chyba Lagrangeova interpolačního polynomu rovněž závisí na volbě intervalu.
Zvolme si tedy interval s krajními body x 1 a x 4 . Nejprve spočítáme absolutní hodnotu
skutečné chyby interpolace jako rozdíl |R(x)| = |f(x) − P(x)|, kde −1 ≤ x ≤ 2. Předpis
proP(x) jsme už získali v předchozím příkladu, tzn.
P(x) = − 1 6 e−1 x 3 + 1 2 e−1 x 2 − 1 3 e−1 x+ 1 2 x3 −x 2 − 1 2 x+1−1 2 ex3 + 1 2 ex2 +ex+ 1 6 e2 x 3 − 1 6 e2 x.
Pro absolutní hodnotu skutečné chyby platí
|R(x)| =|e x + 1 6 e(−1) x 3 − 1 2 e(−1) x 2 + 1 3 e(−1) x− 1 2 x3 +x 2 + 1 2 x−1+ 1 2 ex3 − 1 2 ex2 −
−ex− 1 6 e2 x 3 + 1 6 e2 x|.
Dále vypočítáme odhad chyby pomocí vztahu
Nejprve je nutné spočítat 4. derivaci funkcef
R(x) = (x−x 1)(x−x 2 )...(x−x n )
f (n) (ξ).
n!
f (4) (ξ) = e x .
Chceme získat horní odhad velikosti chyby. Funkce |f (4) (x)| = |e x | = e x nabývá svého maxima
na intervalu〈−1,2〉 v bodě x = 2. Čtvrtou derivaci funkcef tedy můžeme odhadnout jako
|f (4) (ξ)| ≤ e 2 .
Odhad chyby proR(x) tedy bude vypadat následovně
|R(x)| ≤ 1 24 e2 (x+1)x(x−1)(x−2) ( ozn = R o (x)).
Grafy funkcíR o ,R jsou znázorněny na obrázku.