Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 20
Je nasnadě ověřit, jak bude tato funkce vypadat v případě, že místo proměnné t dosadíme
hodnotyx 1 ,x 2 ,...,x n . Dosazením dostaneme
F(x j ) = (x−x 1 )(x−x 2 )...(x−x n )R(x j ), j ∈ {1,2,...,n}.
Jak ale bylo řečeno, R(x j ) = 0, takže F(x j ) = 0 pro každé j ∈ {1,2,...,n}.
Stejný postup provedeme také pro pevně zvolený bodx, tedy
F(x) = (x−x 1 )(x−x 2 )...(x−x n )R(x)−(x−x 1 )(x−x 2 )...(x−x n )R(x) = 0.
Z toho vyplývá, že funkceF je nulová pro n+1 hodnot intervaluI.
V původním intervalu I budeme uvažovat n subintervalů s krajními body x 1 ,x 2 , ...,x n ,x,
ve kterých má funkce F hodnotu 0. Z předpokladů výše uvedené věty vyplývá, že jsou splněny
i předpoklady Rolleovy věty. Víme, že v každém z těchto subintervalů existuje bod, v němž má
funkce F nulovou první derivaci. První derivace funkce F tedy má na intervalu I alespoň n nulových
bodů. Opět aplikujeme Rolleovu větu a získámen−1 bodů, v nichž má funkceF nulovou
druhou derivaci.
Stejný postup můžeme opakovat. Zjistili jsme, že funkce F má n-tou vlastní derivaci, jejíž
hodnota je nulová alespoň pro jeden bodξ ∈ I. Vztah pro n-tou derivaci bude
Pro každé t ∈ I však platí, že
F (n) (t) = (x−x 1 )(x−x 2 )...(x−x n )R (n) (t)−n!R(x).
R (n) (t) = f (n) (t), nebot’P (n) (t) = 0.
Vztah můžeme přepsat do tvaru
F (n) (t) = (x−x 1 )(x−x 2 )...(x−x n )f (n) (t)−n!R(x).
Za t dosadímeξ. Víme, že v tomto bodě je n-tá derivace funkceF nulová.
Po úpravě pak chybu Lagrangeova polynomu můžeme vyjádřit jako
kde ξ ∈ I.
R(x) = (x−x 1)(x−x 2 )...(x−x n )
f (n) (ξ), (9)
n!
Zbývá vyšetřit situaci, kdyxnení různé odx 1 ,x 2 ,...,x n , tznx = x j pro některé
j ∈ {1,2,...,n}. Po dosazení do pravé strany vztahu (9) bude rozdíl(x−x j ) nulový. Vzhledem
k (8) platí rovněž R(x j ) = 0. Vztah (9) tedy platí pro libovolné ξ ∈ I.