Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17
Polynomy l j budeme nazývat elementární Lagrangeovy polynomy. V čitateli byl vynechán
člen (x − x j ), ve jmenovateli pak (x j − x j ). Dále platí, že l j (x j ) = 1 a l j (x k ) = 0 pro každé
k ≠ j. Je-li dána funkce f, která je v bodech x 1 ,x 2 ,...,x n definována, Lagrangeův interpolační
polynom pak vypadá následovně
P(x) =
n∑
f(x j )l j (x), (7)
j=1
kde f(x j ) jsou funkční hodnoty příslušné funkce v jednotlivých bodech a l j jsou elementární
Lagrangeovy polynomy.
Platí, že
1.P je polynomem nejvýše (n−1)-ního stupně.
2. P(x j ) = f(x j ) pro každé j ∈ {1,2,...,n}.
Problematiku ilustrujeme pomocí následujících příkladů.
Příklad 4.1. Sestrojte Lagrangeův polynom, jehož graf prochází body[−1,1],[1,2],[2,−7],
[3,7].
V první řadě je nutné spočítat elementární Lagrangeovy interpolační polynomy příslušné jednotlivým
bodům. Platí
l 1 (x) = (x−1)(x−2)(x−3)
(−1−1)(−1−2)(−1−3) = − 1
24 x3 + 1 4 x2 − 11
24 x+ 1 4 ,
l 2 (x) = (x+1)(x−2)(x−3)
(1+1)(1−2)(1−3) = 1 4 x3 −x 2 + 1 4 x+ 3 2 ,
l 3 (x) = (x+1)(x−1)(x−3)
(2+1)(2−1)(2−3) = −1 3 x3 −x 2 + 1 3 x−1,
l 4 (x) = (x+1)(x−1)(x−2)
(3+1)(3−1)(3−2) = 1 8 x3 − 1 4 x2 + 1 8 x+ 1 4 ,
Tvar Lagrangeova interpolačního polynomu bude lineární kombinací uvedených elementárních
polynomů, tedyP(x) = n y j l j (x). Hodnotyx j jsou jednotlivé uzly ay j jim příslušné
∑
druhé
j=1
souřadnice. Výsledný Lagrangeův interpolační polynom tedy bude vypadat následovně.
P(x) =− 1
24 x3 + 1 4 x2 − 11
24 x+ 1 ( 1
4 +2 4 x3 −x 2 + 1 4 x+ 3 )
−
2
−7
(− 1 3 x3 −x 2 + 1 ) ( 1
3 x−1 +7
8 x3 − 1 4 x2 + 1 8 4)
x+ 1 =
= 11 3 x3 − 21
2 x2 − 19
6 x+12