Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 16
4 Interpolační polynomy
Pro další výpočty nejprve budeme funkci, jež je obecně příliš složitá pro integraci, interpolovat
polynomem, který má pro nás výhodnější vlastnosti. V této kapitole se budeme zabývat konstrukcí
Lagrangeova interpolačního polynomu, který budeme dále používat při výpočtech polynomu Hermitova.
Právě Hermitův interpolační polynom nám poslouží při následných odhadech chyby, jíž
se dopustíme v případě, že integrál funkcef nahradíme Gaussovou kvadraturní formulí.
4.1 Lagrangeův interpolační polynom
V této podkapitole se budeme zabývat konstrukcí interpolačního polynomu daného stupně,
jehož graf procházínuzlovými body se souřadnicemi[x 1 ,y 1 ],[x 2 ,y 2 ],...,[x n ,y n ], kde hodnoty
x 1 , x 2 , ..., x n jsou navzájem různá čísla. Hledáme tedy polynom, jehož graf prochází všemi
uzlovými body. Vzhledem k tomu, že máme zadánonpodmínek, budeme požadovat, aby získaný
polynom měl stupeň nejvýše n − 1. Takový polynom budeme nazývat Lagrangeův interpolační
polynom.
Lagrangeova interpolačního polynomu můžeme využít i v případě, že máme zadán interval
I a v něm n navzájem různých bodů x 1 , x 2 , ..., x n . Dále pak máme zadánu funkci f, která je
v bodech x 1 ,x 2 ,...,x n definována. V tomto případě jsou druhé souřadnice jednotlivých bodů
reprezentovány funkčními hodnotami v bodechx j a pro hledaný polynomP platí
P(x j ) = f(x j )
pro každé j ∈ {1,2,...,n}. Poznatky získané v úvodu nám umožňují formulovat následující
větu.
Věta 4.1. Necht’ n ∈ N a necht’ funkce f : R → R je definována na intervalu I, přičemž x 1 <
x 2 < ··· < x n leží v intervalu I. Pak existuje právě jeden Lagrangeův interpolační polynom P
stupně nejvýšen−1 (n ∈ N) takový, že pro všechnaj ∈ {1,2,...,n} platíP(x j ) = f(x j ).
Důkaz. Nejprve provedeme důkaz jednoznačnosti. Předpokládejme sporem, že existují dva různé
polynomy P a P , které řeší úlohu Lagrangeovy interpolace. Platí tedy P(x j ) = P(x j ) = f(x j ).
Polynomp(x) = P(x)−P(x) je tedy nenulový polynom stupně nejvýšen−1. Navíc však platí,
že p(x j ) = 0 pro každé j ∈ {1,2,...,n}, tedy pro n různých bodů. Musel by tedy být identicky
roven nule, čímž se dostáváme do sporu. Důkaz existence je konstruktivní.
4.1.1 Konstrukce Lagrangeova interpolačního polynomu
Pro každé j ∈ {1,2,...,n} můžeme sestrojit polynom
l j (x) =
n∏
k=1,k≠j
n∏
k=1,k≠j
(x−x k )
. (6)
(x j −x k )