Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

More documents

Recommendations

Info

3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ 14 3.4 Hermitovy polynomy Ačkoli tomu název napovídá, jedná se o systém ortogonálních polynomů, nikoli o Hermitovy interpolační polynomy. Těmi se budeme zabývat v jedné z následujících kapitol. Necht’ I = (−∞,∞) a w(x) = e −x2 . Pak prostor F bude prostorem všech funkcí splňujících podmínku (2) a skalární součin (3) bude vypadat následovně 〈u,v〉 = ∫ +∞ −∞ e −x2 u(x)v(x)dx. Ortogonalizací posloupnosti 1,x,x 2 ,... vzhledem k výše uvedenému skalárnímu součinu získáváme takzvané Hermitovy polynomy. Hermitovy polynomy získané ortogonalizací mají tvar M (−∞,+∞) 0 (x) = 1, M (−∞,+∞) 1 (x) = x, M (−∞,+∞) 2 (x) = x 2 − 1 2 , M (−∞,+∞) 3 (x) = x 3 − 3 2 x. ... 3.5 Vlastnosti kořenů ortogonálních polynomů Věta 3.1. Necht’ n ∈ N. Pak polynom p I n stupně n má právě n různých reálných kořenů, které navíc všechny leží v intervaluI. Důkaz. Necht’ α 1 < α 2 < ··· < α k , kde k ∈ N 0 , k ≤ n, jsou všechny kořeny polynomu p I n s lichou násobností, které leží v intervaluI. Pak můžeme polynomp I n přepsat do tvaru p I n(x) = (x−α 1 ) l 1 (x−α 2 ) l 2 ...(x−α k ) l k s(x), kde l 1 ,l 2 ,...,l k jsou lichá čísla udávající násobnost jednotlivých kořenů α 1 ,α 2 , ...,α k . Polynomsmá přitom kořeny sudé násobnosti, případně kořeny, které se nachází mimo interval I, z čehož vyplývá, že na intervalu I nemění znaménko. Pro polynom s na intervalu I tedy platí jedna z variants(x) ≤ 0 nebos(x) ≥ 0. Nejprve předpokládejme, žes(x) ≥ 0 prox ∈ I. Dále definujme polynom r(x) = (x−α 1 )(x−α 2 )(x−α 3 )...(x−α k ).
3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ 15 Provedeme integrální skalární součinp I n ar. Platí, že 〈 p I n ,r 〉 ∫ = I I p I n(x)r(x)w(x)dx = ∫ = (x−α 1 ) l1+1 (x−α 2 ) l2+1 ...(x−α k ) lk+1 s(x)w(x)dx > 0. Díky přenásobení polynomem r získaly kořeny původně liché násobnosti násobnost sudou, integrujeme tedy spojitou nezápornou funkci, která není identicky nulová. Z toho vyplývá, že hodnota integrálu je větší než 0. Na druhou stranu však polynom p I n musí být kolmý ke všem polynomům stupně nižšího. Pro počet kořenů liché násobnosti ležících v intervaluI platí k = st(r) ≥ n. Je zřejmé k ≤ n, pro hodnotu k tedy musí platit k = n. Z toho vyplývá, že všech n kořenů polynomup I n leží v intervaluI.
Page 1: VŠB - Technická univerzita Ostrav
Page 5 and 6: Abstrakt Gaussova kvadratura je jed
Page 7 and 8: OBSAH 7 11 Závěr 70 12 Literatura
Page 9 and 10: 1 ÚVOD 9 1 Úvod Na základě pozn
Page 11 and 12: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
Page 13: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
Page 25 and 26: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
Page 27 and 28: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2
Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
Page 65 and 66:
9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
Page 67 and 68:
10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
Page 69 and 70:
10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
Page 71 and 72:
12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]
show all

Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?