Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ 14
3.4 Hermitovy polynomy
Ačkoli tomu název napovídá, jedná se o systém ortogonálních polynomů, nikoli o Hermitovy
interpolační polynomy. Těmi se budeme zabývat v jedné z následujících kapitol.
Necht’ I = (−∞,∞) a w(x) = e −x2 . Pak prostor F bude prostorem všech funkcí splňujících
podmínku (2) a skalární součin (3) bude vypadat následovně
〈u,v〉 =
∫
+∞
−∞
e −x2 u(x)v(x)dx.
Ortogonalizací posloupnosti 1,x,x 2 ,... vzhledem k výše uvedenému skalárnímu součinu
získáváme takzvané Hermitovy polynomy.
Hermitovy polynomy získané ortogonalizací mají tvar
M (−∞,+∞)
0 (x) = 1,
M (−∞,+∞)
1 (x) = x,
M (−∞,+∞)
2 (x) = x 2 − 1 2 ,
M (−∞,+∞)
3 (x) = x 3 − 3 2 x.
...
3.5 Vlastnosti kořenů ortogonálních polynomů
Věta 3.1. Necht’ n ∈ N. Pak polynom p I n stupně n má právě n různých reálných kořenů, které
navíc všechny leží v intervaluI.
Důkaz. Necht’ α 1 < α 2 < ··· < α k , kde k ∈ N 0 , k ≤ n, jsou všechny kořeny polynomu p I n
s lichou násobností, které leží v intervaluI. Pak můžeme polynomp I n přepsat do tvaru
p I n(x) = (x−α 1 ) l 1
(x−α 2 ) l 2
...(x−α k ) l k
s(x),
kde l 1 ,l 2 ,...,l k jsou lichá čísla udávající násobnost jednotlivých kořenů α 1 ,α 2 , ...,α k .
Polynomsmá přitom kořeny sudé násobnosti, případně kořeny, které se nachází mimo interval
I, z čehož vyplývá, že na intervalu I nemění znaménko. Pro polynom s na intervalu I tedy platí
jedna z variants(x) ≤ 0 nebos(x) ≥ 0. Nejprve předpokládejme, žes(x) ≥ 0 prox ∈ I.
Dále definujme polynom
r(x) = (x−α 1 )(x−α 2 )(x−α 3 )...(x−α k ).