Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ 13
3.2 Čebyševovy polynomy
Necht’ I = (−1,1) a w(x) = √ 1
1−x
. Pak prostor F bude prostorem všech funkcí splňujících
2
podmínku (2) a skalární součin (3) bude vypadat následovně
〈u,v〉 =
∫ 1
−1
1
√
1−x 2 u(x)v(x)dx.
Ortogonalizací posloupnosti 1,x,x 2 ,... vzhledem k výše uvedenému skalárnímu součinu
získáváme takzvané Čebyševovy polynomy.
Čebyševovy polynomy získané ortogonalizací mají tvar
T (−1,1)
0 (x) = 1,
T (−1,1)
1 (x) = x,
T (−1,1)
2 (x) = x 2 − 1 2 ,
T (−1,1)
3 (x) = x 3 − 3 4 x.
...
3.3 Laguerrovy polynomy
Necht’ I = 〈0,∞) a w(x) = e −x . Pak prostor F bude prostorem všech funkcí splňujících
podmínku (2) a skalární součin (3) bude vypadat následovně
〈u,v〉 =
∫
+∞
0
e −x u(x)v(x)dx.
Ortogonalizací posloupnosti 1,x,x 2 ,... vzhledem k výše uvedenému skalárnímu součinu
získáváme takzvané Laguerrovy polynomy.
Laguerrovy polynomy získané ortogonalizací mají tvar
G 〈0,+∞)
0 (x) = 1,
G 〈0,+∞)
1 (x) = x−1,
G 〈0,+∞)
2 (x) = x 2 −4x+2,
G 〈0,+∞)
3 (x) = x 3 −9x 2 +18x−6.
...