Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ 12
Poznámka 3.3. Jelikož budeme pro výpočet používat Gramovou-Schmidtovu ortogonalizaci, nebude
se jednat přímo o Legendrovy polynomy tak, jak jsou definovány v literatuře, ale o jejich
nenulové násobky, přesto je tak v rámci práce budeme nazývat. Pro konstrukci Gaussových kvadratur
nám postačí pouze kořeny Legendrových polynomů, jejichž hodnoty se v případě, že daný
polynom vynásobíme libovolným nenulovým číslem, nezmění. Ze stejného důvodu zde není zapotřebí
získané polynomy normalizovat.
V literatuře se nejčastěji objevují Legendrovy polynomy vzniklé ortogonalizací posloupnosti
1,x,x 2 ,... vzhledem ke skalárnímu součinu
Takto získané polynomy mají tvar
L 〈−1,1〉
0 (x) = 1,
L 〈−1,1〉
1 (x) = x,
L 〈−1,1〉
2 (x) = x 2 − 1 3 ,
L 〈−1,1〉
3 (x) = x 3 − 3 5 x.
...
〈u,v〉 =
∫ 1
−1
u(x)v(x)dx.
Pro účely práce budeme potřebovat počítat i na jiných intervalech, než je 〈−1,1〉. Mezi Legendrovými
polynomyL n
〈−1,1〉 a L n
〈a,b〉 existuje následující transformační vztah
( ) 2(x−a)
L 〈a,b〉 (x) = L 〈−1,1〉 b−a −1 ,x ∈ 〈a,b〉. (4)
Poznámka 3.4. V praxi bude jednodušší nejprve spočítat kořeny Legendrových polynomůL n
〈−1,1〉
a poté transformovat pouze kořeny. Tímto postupem získáme stejné výsledky jako v případě, že
bychom počítali kořeny Legendrova polynomu L n
〈a,b〉 . Pro transformaci kořenů budeme používat
vztah
x 〈a,b〉 = x〈−1,1〉 +1
(b−a)+a, (5)
2
kde x 〈−1,1〉 je kořenem polynomuL 〈−1,1〉 a x 〈a,b〉 je kořenem polynomuL 〈a,b〉 .