Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ 11
3 Ortogonální systémy polynomů
V rámci této kapitoly se budeme zabývat polynomy, které budeme využívat při konstrukci
Gaussovy kvadratury.
Definice 3.1. Necht’ w je funkce, která je spojitá na intervalu I ⊆ R. Necht’ dále platí w(x) > 0
na intervaluI a ∫
|x| k w(x)dx < +∞, ∀k ∈ {0,1,...}. (1)
Pak funkciw budeme nazývat váhovou funkcí.
I
Poznámka 3.1. V případě, že je I uzavřený omezený interval, chápeme integrál (1) jako Riemannův
integrál. Pokud je intervalI otevřený nebo neomezený, budeme k integrálu (1) přistupovat
jako k nevlastnímu integrálu.
Uvažujme vektorový prostor
F = {u : R → R : u je spojitá na intervaluI ∧ Du = I ∧
∫
I
w(x)u 2 (x)dx < +∞} (2)
Poznámka 3.2. V případě, žeDu ⊇ I, budeme vztahu ∈ F interpretovat jakou | I ∈ F .
Na prostoruF budeme definovat skalární součin
∫
〈u,v〉 = w(x)u(x)v(x)dx. (3)
I
Pokud〈u,v〉 = 0, říkáme, že funkceuav jsou ortogonální vzhledem ke skalárnímu součinu (3).
V rámci práce se budeme zabývat polynomy, které získáme Gramovou-Schmidtovou ortogonalizací
posloupnosti 1,x,x 2 ,... vzhledem ke skalárnímu součinu (3). Tyto polynomy budeme
označovat p I 0 ,pI 1 ,pI 2 ,.... Díky podmínce (1) a poznámce 3.2 jsou funkce 1,x,x2 ,... prvky prostoruF
.
3.1 Legendrovy polynomy
Necht’ I = 〈a,b〉 a w(x) = 1. Pak prostor F je prostorem všech funkcí spojitých na intervalu
〈a,b〉 a skalární součin (3) má následující tvar
〈u,v〉 =
∫ b
a
u(x)v(x)dx.
Ortogonalizací posloupnosti 1,x,x 2 ,... vzhledem k výše uvedenému skalárnímu součinu
získáváme takzvané Legendrovy polynomy, které budeme značitL 〈a,b〉
n .