Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

2 POLYNOMY 10
2 Polynomy
2.1 Stupeň polynomu
V rámci kapitoly se budeme hojně setkávat s pojmem polynom a stupeň polynomu.
Definice 2.1. Reálným polynomemP stupně nejvýše n-tého rozumíme funkci danou předpisem
P(x) = a 0 x n +a 1 x n−1 +···+a n−1 x+a n ,
kde hodnoty a 0 ,a 1 ,...,a n ∈ R nazýváme jeho koeficienty. V případě, že a 0 ≠ 0, říkáme, že se
jedná o polynom stupně n.
Definice 2.2. Kořenem polynomuP rozumíme takové čísloα, pro které platí
P(α) = 0.
Definice 2.3. KořenαpolynomuP nazýváme k-násobný, pokud existuje polynomQtakový, že
a α není kořenem polynomuQ.
P(x) = (x−α) k Q(x)
PolynomP má k-násobný kořen α právě tehdy, když platí
P(α) = 0,
P ′ (α) = 0,
...
P (k−1) (α) = 0,
P (k) (α) ≠ 0.
Je-li polynomQstupněm, má nejvýšemkořenů, které budeme počítat včetně jejich násobnosti.
Z toho plyne, že pokud má polynom stupně nejvýše m více než m kořenů počítaných včetně
násobností, musí platita 0 = a 1 = ··· = a m−1 = a m = 0, tzn.Qje nulový polynom.