Linearna i nelinearna reaktivna TR - LEDA
Linearna i nelinearna reaktivna TR - LEDA Linearna i nelinearna reaktivna TR - LEDA
Analiza kola Analiza kola Analiza elektronskih kola 1. Uvod 2. Analiza linearnih kola u DC domenu (jednosmerni režim) 3. Analiza linearnih kola u AC domenu (frekvencijski domen) 4. Analiza nelinearnih kola u DC domenu 5. Analiza linearnih kola u TR domenu (vremenski domen) 6. Analiza nelinearnih kola u TR domenu 1 Analiza elektronskih kola 1. Uvod 2. Analiza linearnih kola u DC domenu (jednosmerni režim) 3. Analiza linearnih kola u AC domenu (frekvencijski domen) 4. Analiza nelinearnih kola u DC domenu 5. Analiza linearnih kola u TR domenu (vremenski domen) 6. Analiza nelinearnih kola u TR domenu 2 Analiza kola Analiza kola Ponašanje linearnih reaktivnih kola u vremenskom domenu domenu opisuje se sistemom linearnih diferencijalnih jednačina I(t)=Isin(ωt) 1 R1 2 I 1k v 1 (t) i L (t) L1 INDUCTOR Tip kola i analize 3. Linearna reaktivna u TR domenu C1 1nF v 2 (t) v1( t) − v2( t) = i( t) R 1 v2( t) − v1 ( t) dv2( t) + iL ( t) + C1 = 0 R dt 1 diL ( t) v2( t) − L = 0 dt Matematički model 3. Linearne diferencijalne jednačine 3 Matematički model 1. i 2. Linearne jednačine (realne i kompleksne) 3. Nelinearne algebarske jednačine 4. Linearne diferencijalne jednačine 5. Nelinearne diferencijalne jednačine Način rešavanja sistema j-na 1. i 2. LU faktorizacija (Gauss) 3. Linearizacija - Iterativno svođenje na linearne algebarske (Newton- Kantorovič) 4. Numeričko integraljenje - diskretizacija - svođenje na linearne algebarske (Euler) 5. Diskretizacija - svođenje na nelinearne algebarske i linearizacija - Iterativno 4 svođenje na linearne
- Page 2 and 3: 5 Analiza kola 0 ) ( ) ( 0 ) ( C )
- Page 4 and 5: Analiza kola Analiza kola Primena E
- Page 6 and 7: Analiza kola Analiza kola Primena E
- Page 8 and 9: Analiza kola Analiza kola Analiza g
- Page 10 and 11: ε ε Tx Analiza kola Analiza greš
- Page 12 and 13: •Analiza linearnih kola u vremens
- Page 14 and 15: Analiza kola Analiza kola Tipovi ko
- Page 16 and 17: Analiza nelinearnih kola u vremensk
- Page 18: Sledeće nedelje: Optimizacija elek
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Analiza elektronskih kola<br />
1. Uvod<br />
2. Analiza linearnih kola u DC domenu<br />
(jednosmerni režim)<br />
3. Analiza linearnih kola u AC domenu<br />
(frekvencijski domen)<br />
4. Analiza nelinearnih kola u DC domenu<br />
5. Analiza linearnih kola u <strong>TR</strong> domenu<br />
(vremenski domen)<br />
6. Analiza nelinearnih kola u <strong>TR</strong> domenu<br />
1<br />
Analiza elektronskih kola<br />
1. Uvod<br />
2. Analiza linearnih kola u DC domenu<br />
(jednosmerni režim)<br />
3. Analiza linearnih kola u AC domenu<br />
(frekvencijski domen)<br />
4. Analiza nelinearnih kola u DC domenu<br />
5. Analiza linearnih kola u <strong>TR</strong> domenu<br />
(vremenski domen)<br />
6. Analiza nelinearnih kola u <strong>TR</strong> domenu<br />
2<br />
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Ponašanje linearnih reaktivnih kola u<br />
vremenskom domenu domenu<br />
opisuje se sistemom linearnih<br />
diferencijalnih jednačina<br />
I(t)=Isin(ωt)<br />
1<br />
R1 2<br />
I<br />
1k<br />
v 1<br />
(t)<br />
i L<br />
(t)<br />
L1<br />
INDUCTOR<br />
Tip kola i analize<br />
3. <strong>Linearna</strong> <strong>reaktivna</strong> u<br />
<strong>TR</strong> domenu<br />
C1<br />
1nF<br />
v 2<br />
(t)<br />
v1(<br />
t)<br />
− v2(<br />
t)<br />
= i( t)<br />
R<br />
1<br />
v2(<br />
t)<br />
− v1<br />
( t)<br />
dv2(<br />
t)<br />
+ iL<br />
( t)<br />
+ C1<br />
= 0<br />
R<br />
dt<br />
1<br />
diL<br />
( t)<br />
v2(<br />
t)<br />
− L = 0<br />
dt<br />
Matematički model<br />
3. Linearne<br />
diferencijalne<br />
jednačine<br />
3<br />
Matematički model<br />
1. i 2. Linearne jednačine<br />
(realne i kompleksne)<br />
3. Nelinearne algebarske<br />
jednačine<br />
4. Linearne diferencijalne<br />
jednačine<br />
5. Nelinearne<br />
diferencijalne jednačine<br />
Način rešavanja sistema j-na<br />
1. i 2. LU faktorizacija<br />
(Gauss)<br />
3. Linearizacija - Iterativno<br />
svođenje na linearne<br />
algebarske (Newton-<br />
Kantorovič)<br />
4. Numeričko integraljenje -<br />
diskretizacija - svođenje<br />
na linearne algebarske<br />
(Euler)<br />
5. Diskretizacija - svođenje na<br />
nelinearne algebarske i<br />
linearizacija - Iterativno 4<br />
svođenje na linearne
5<br />
Analiza kola<br />
0<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
0<br />
)<br />
(<br />
C<br />
)<br />
(<br />
R<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
i(<br />
R<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
2<br />
1<br />
L<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
=<br />
−<br />
=<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
−<br />
dt<br />
t<br />
di<br />
L<br />
t<br />
v<br />
dt<br />
t<br />
dv<br />
t<br />
i<br />
t<br />
v<br />
t<br />
v<br />
t<br />
t<br />
v<br />
t<br />
v<br />
1 2<br />
v 1 (t)<br />
v 2 (t)<br />
L1<br />
INDUCTOR<br />
R1<br />
1k<br />
C1<br />
1nF<br />
I<br />
I(t)=Isin(ωt)<br />
i L (t)<br />
(x)<br />
f<br />
dt<br />
dx<br />
x =<br />
=<br />
&<br />
h<br />
x<br />
x<br />
h<br />
)<br />
x(t<br />
)<br />
x(t<br />
t<br />
t<br />
)<br />
x(t<br />
)<br />
x(t<br />
)<br />
x(t<br />
n<br />
1<br />
n<br />
n<br />
1<br />
n<br />
n<br />
1<br />
n<br />
n<br />
1<br />
n<br />
1<br />
n<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
−<br />
−<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
&<br />
Diskretizacija vremenske ose<br />
6<br />
Analiza kola<br />
0<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
0<br />
)<br />
(<br />
C<br />
)<br />
(<br />
R<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
i(<br />
R<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
2<br />
1<br />
L<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
=<br />
−<br />
=<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
−<br />
dt<br />
t<br />
di<br />
L<br />
t<br />
v<br />
dt<br />
t<br />
dv<br />
t<br />
i<br />
t<br />
v<br />
t<br />
v<br />
t<br />
t<br />
v<br />
t<br />
v<br />
1 2<br />
v 1 (t)<br />
v 2 (t)<br />
L1<br />
INDUCTOR<br />
R1<br />
1k<br />
C1<br />
1nF<br />
I<br />
I(t)=Isin(ωt)<br />
i L (t)<br />
0<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
0<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
C<br />
)<br />
(<br />
R<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
i(<br />
R<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
L<br />
1<br />
L<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
L<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
=<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
h<br />
t<br />
i<br />
t<br />
i<br />
L<br />
t<br />
v<br />
h<br />
t<br />
v<br />
t<br />
v<br />
t<br />
i<br />
t<br />
v<br />
t<br />
v<br />
t<br />
t<br />
v<br />
t<br />
v<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
7<br />
Analiza kola<br />
1 2<br />
v 1 (t)<br />
v 2 (t)<br />
L1<br />
INDUCTOR<br />
R1<br />
1k<br />
C1<br />
1nF<br />
I<br />
I(t)=Isin(ωt)<br />
i L (t)<br />
n<br />
L<br />
n<br />
L<br />
n<br />
n<br />
n<br />
L<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
i<br />
h<br />
L<br />
i<br />
h<br />
L<br />
v<br />
v<br />
h<br />
i<br />
v<br />
h<br />
v<br />
v<br />
v<br />
= −<br />
−<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
n<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
C<br />
)<br />
C<br />
R<br />
1<br />
(<br />
R<br />
1<br />
i<br />
R<br />
1<br />
R<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
=<br />
=<br />
=<br />
n<br />
L<br />
n<br />
L<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
t<br />
i<br />
i<br />
t<br />
v<br />
v<br />
t<br />
v<br />
v<br />
8<br />
Analiza kola<br />
1 2<br />
v 1 (t)<br />
v 2 (t)<br />
L1<br />
INDUCTOR<br />
R1<br />
1k<br />
C1<br />
1nF<br />
I<br />
I(t)=Isin(ωt)<br />
i L (t)<br />
n<br />
L<br />
n<br />
L<br />
n<br />
n<br />
n<br />
L<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
i<br />
h<br />
L<br />
i<br />
h<br />
L<br />
v<br />
v<br />
h<br />
i<br />
v<br />
h<br />
v<br />
v<br />
v<br />
= −<br />
−<br />
=<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
n<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
C<br />
)<br />
C<br />
R<br />
1<br />
(<br />
R<br />
1<br />
i<br />
R<br />
1<br />
R<br />
1<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⋅<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
+<br />
−<br />
− +<br />
+<br />
+<br />
+<br />
n<br />
L<br />
n<br />
n<br />
n<br />
L<br />
n<br />
n<br />
i<br />
h<br />
L<br />
v<br />
h<br />
C<br />
i<br />
v<br />
v<br />
h<br />
L<br />
h<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1 i<br />
1<br />
0<br />
1<br />
C<br />
R<br />
1<br />
R<br />
1<br />
0<br />
R<br />
1<br />
R<br />
1<br />
Sistem linearnih jednačina<br />
n<br />
n<br />
i<br />
v<br />
G<br />
~<br />
=<br />
⋅<br />
+1
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
vremenska petlja<br />
Linearne diferencijalne jednačine<br />
Diskretizacija<br />
Linearne algebarske jednačine<br />
Diskretizacija vremenske ose.<br />
Da bi se našlo rešenje u trenutku t=t n+1 , potrebno<br />
je da se zna rešenje za trenutak t=t n .<br />
Potrebno je definisati granične uslove za t=0.<br />
Za analizu kola u intervalu do 50ms sa korakom<br />
5µs potrebno je formirati i rešiti sistem linearnih<br />
algebarskih jednačina 10 000 puta!<br />
9<br />
10<br />
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
C<br />
dv<br />
= C<br />
dt<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
C<br />
(v<br />
= C<br />
C<br />
= (v<br />
h<br />
C<br />
= v<br />
h<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
− v<br />
h<br />
− v<br />
+<br />
C<br />
h<br />
n<br />
C<br />
n<br />
C<br />
v<br />
)<br />
)<br />
n<br />
C<br />
Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
C<br />
dv<br />
= C<br />
dt<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
C<br />
(v<br />
= C<br />
C<br />
= (v<br />
h<br />
C<br />
= v<br />
h<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
− v<br />
h<br />
− v<br />
+<br />
C<br />
h<br />
n<br />
C<br />
n<br />
C<br />
v<br />
)<br />
)<br />
n<br />
C<br />
11<br />
12
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu<br />
Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu<br />
i<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
=<br />
C<br />
h<br />
v<br />
n+<br />
1<br />
C<br />
−<br />
C<br />
h<br />
v<br />
n<br />
C<br />
j / v<br />
V i<br />
n+1<br />
v j<br />
n+1<br />
SV<br />
Struja iC(tn+1) ima dve komponente:<br />
Jedna zavisi od napona vC (tn+1) a druga od vC(tn)<br />
n+<br />
1<br />
i (t)<br />
i C<br />
C<br />
i<br />
C<br />
h<br />
C<br />
−<br />
h<br />
C<br />
(v<br />
h<br />
n<br />
i<br />
− v<br />
n<br />
j<br />
)<br />
v C (t)<br />
n+<br />
1<br />
v C<br />
C<br />
G C =<br />
h<br />
n<br />
i C<br />
C n<br />
= vC<br />
h<br />
j<br />
C<br />
−<br />
h<br />
C<br />
h<br />
C n n<br />
− (v − v )<br />
h i j<br />
13<br />
14<br />
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Primena Eulerove formule na induktivnu granu<br />
v<br />
v<br />
v<br />
v<br />
L<br />
di<br />
= L<br />
dt<br />
n+<br />
1<br />
L<br />
n+<br />
1<br />
L<br />
n+<br />
1<br />
L<br />
L<br />
(i<br />
= L<br />
n<br />
i C<br />
+ 1<br />
L<br />
= (i<br />
h<br />
L<br />
= i<br />
h<br />
n+<br />
1<br />
L<br />
n+<br />
1<br />
L<br />
n+<br />
1<br />
L<br />
h<br />
− i<br />
− i<br />
−<br />
L<br />
h<br />
n<br />
L<br />
n<br />
L<br />
i<br />
)<br />
)<br />
n<br />
L<br />
Primena Eulerove formule na induktivnu granu<br />
v<br />
n+<br />
1<br />
L<br />
=<br />
L<br />
h<br />
n+<br />
1<br />
L<br />
L<br />
h<br />
n<br />
L<br />
Napon vL(tn+1) ima dve komponente:<br />
Jedna zavisi od struje iL (tn+1) a druga od iL(tn)<br />
(t) i L<br />
(t) v L<br />
i<br />
−<br />
n+<br />
1<br />
vL<br />
i<br />
n+<br />
1<br />
i L<br />
L<br />
R L =<br />
h<br />
n L<br />
v<br />
Ls<br />
= i<br />
h<br />
n<br />
L<br />
15<br />
16
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Primena Eulerove formule na induktivnu granu<br />
n+<br />
1 n+<br />
1 n+<br />
1 L n+<br />
1 L n<br />
n+<br />
1<br />
v<br />
L<br />
= vi<br />
− v<br />
j<br />
= iL<br />
− iL<br />
= RLiL<br />
+ v<br />
h h<br />
i<br />
n+<br />
1<br />
j<br />
n+<br />
1<br />
L<br />
L<br />
n+<br />
1<br />
v − v − R i = v<br />
Ls<br />
n<br />
Ls<br />
n<br />
Primena Eulerove formule na induktivnu granu<br />
Iz čvora i ističe struja i<br />
n+1<br />
L 1 i<br />
n+1<br />
L<br />
U čvor j utiče struja i<br />
n+1<br />
L -1 i<br />
n+1<br />
L<br />
Nova jednačina<br />
j / v<br />
v<br />
n+1<br />
v<br />
n+1<br />
i<br />
n+1<br />
i j L<br />
i<br />
1<br />
i<br />
n+<br />
1<br />
SV<br />
j<br />
n+<br />
1<br />
L<br />
L<br />
n+<br />
1<br />
1v −1v<br />
− R i = v<br />
Ls<br />
n<br />
j<br />
-1<br />
NJ L 1 -1 -R L<br />
n<br />
vLs<br />
17<br />
18<br />
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Primena Eulerove formule na induktivnu granu<br />
n+<br />
1 h n+<br />
1<br />
i L = vL<br />
+ i<br />
L<br />
n<br />
L<br />
Primena Eulerove formule na induktivnu granu<br />
n+<br />
1 h n+<br />
1<br />
i L = vL<br />
+ i<br />
L<br />
n<br />
L<br />
Napon vL(tn+1) ima dve komponente:<br />
Jedna zavisi od struje iL (tn+1) a druga od iL(tn)<br />
n+<br />
1<br />
(t)<br />
i L<br />
i L<br />
(t)<br />
n+<br />
1<br />
vL<br />
h<br />
G L =<br />
L<br />
v L<br />
20<br />
n<br />
i L<br />
j / v<br />
v<br />
n+1<br />
v<br />
n+1<br />
i<br />
n+1<br />
i j L<br />
i<br />
1<br />
j<br />
-1<br />
NJ L h/L -h/L -1<br />
SV<br />
n<br />
− iL<br />
19
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti<br />
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti<br />
21<br />
22<br />
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti<br />
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti<br />
v<br />
v<br />
n+<br />
1<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
L<br />
=<br />
1<br />
i<br />
h<br />
M<br />
= i<br />
h<br />
n+<br />
1<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
1<br />
L<br />
−<br />
1<br />
i<br />
h<br />
M<br />
− i<br />
h<br />
n<br />
1<br />
n<br />
1<br />
M<br />
+ i<br />
h<br />
L<br />
+<br />
2<br />
i<br />
h<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
M<br />
− i<br />
h<br />
L<br />
−<br />
2<br />
i<br />
h<br />
n<br />
2<br />
n<br />
2<br />
v<br />
v<br />
n+<br />
1<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
= R<br />
= R<br />
n+<br />
1<br />
11i1<br />
n+<br />
1<br />
21i1<br />
+ R<br />
+ R<br />
n+<br />
1<br />
12i2<br />
n+<br />
1<br />
22i2<br />
+ v<br />
+ v<br />
n<br />
MS1<br />
n<br />
MS2<br />
v<br />
n+<br />
1<br />
1<br />
= R<br />
n+<br />
1<br />
11i1<br />
+ R<br />
n+<br />
1<br />
12i2<br />
− R<br />
n<br />
11i1<br />
− R<br />
n<br />
12i2<br />
v<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
= R<br />
n+<br />
1<br />
21i1<br />
− R<br />
n<br />
21i1<br />
+ R<br />
n+<br />
1<br />
22i2<br />
− R<br />
n<br />
22i2<br />
23<br />
24
Analiza kola<br />
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti<br />
v<br />
v<br />
n+<br />
1<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
= R<br />
= R<br />
n+<br />
1<br />
11i1<br />
n+<br />
1<br />
21i1<br />
+ R<br />
+ R<br />
n+<br />
1<br />
12i2<br />
n+<br />
1<br />
22i2<br />
+ v<br />
+ v<br />
n<br />
MS1<br />
n<br />
MS2<br />
Analiza kola<br />
Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti<br />
j / v<br />
v<br />
n+1<br />
v<br />
n+1<br />
v<br />
n+1<br />
v<br />
n+1<br />
i<br />
n+1<br />
i<br />
n+1<br />
i j p q 1 2<br />
i<br />
1<br />
j<br />
-1<br />
SV<br />
p<br />
1<br />
q<br />
-1<br />
NJ1<br />
1<br />
-1<br />
-R 11<br />
-R 12<br />
v ms1<br />
n<br />
NJ2<br />
1<br />
-1<br />
-R 21<br />
-R 22<br />
v ms2<br />
n<br />
25<br />
26<br />
Analiza kola<br />
Algoritam<br />
Analiza kola<br />
Zadavanje graničnih uslova, t=0,<br />
n=0<br />
V in =V i0 , i=1,…,N<br />
t=t+h, n = n +1<br />
V in =V i<br />
n+1<br />
,<br />
i=1,…,N<br />
Formulacija sistema linearnih<br />
algebarskih jednačina<br />
Rešavanje sistema linearnih<br />
jednačina, V i<br />
n+1<br />
, i=1,…,N<br />
Štampanje V i<br />
n+1<br />
ne<br />
t>T kraj<br />
27<br />
da<br />
kraj<br />
28
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
Intuitivno je jasno (a znanja iz numeričke matematike<br />
to potvrđuje) da diskretizacija unesi određenu grešku,<br />
i da može da se očekuje da greška bude manja ako je<br />
korak diskretizacije manji i ako je promena sporija.<br />
Želimo da utvrdimo<br />
-koliko iznosi greška i<br />
-od čega zavisi.<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
Neka je x(t n+1 ) tačna vrednost<br />
a x n+1 izračunata vrednost pomenljive x.<br />
Tada je lokalna greška zaokruživanja<br />
(Local trncation Error, LTE)<br />
ε Tx = x(t n+1 ) - x n+1<br />
29<br />
30<br />
Analiza kola<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
Razvojem funkcije x(t) u Tajlorov red u okolini<br />
tačke t=t n+1 dobija se<br />
x(t) = x(t<br />
za t = t<br />
x(t ) = x(t<br />
h = t<br />
x(t ) = x(t<br />
x(t<br />
n<br />
n<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
) + (t − t<br />
n+<br />
1<br />
− t ,<br />
n+<br />
1<br />
) + (t<br />
) − hx&<br />
) = x(t ) + hx&<br />
n<br />
n<br />
n+<br />
1<br />
− t<br />
t=<br />
t<br />
t=<br />
t<br />
)x&<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
+<br />
t=<br />
t<br />
)x&<br />
−<br />
n+<br />
1<br />
t=<br />
t<br />
1<br />
h<br />
2<br />
1<br />
h<br />
2<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
2<br />
+<br />
&& x<br />
&& x<br />
1<br />
(t<br />
2<br />
+<br />
t=<br />
t<br />
t=<br />
t<br />
− t<br />
1<br />
(t<br />
2<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
− t<br />
+ ...<br />
− ...<br />
2<br />
) && x<br />
n+<br />
1<br />
t=<br />
t<br />
n+<br />
1<br />
2<br />
) && x<br />
+ ...<br />
t=<br />
t<br />
n+<br />
1<br />
+ ...<br />
31<br />
x(t &<br />
Na osnovu<br />
n+<br />
1<br />
x(t<br />
) =<br />
t<br />
x<br />
Analiza kola<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
) − x(t<br />
− t<br />
n<br />
n<br />
sledi da je približna vrednost promenljive x u trenutku t=t n+1<br />
n+<br />
1 n<br />
= x + hx&<br />
ε<br />
Tx<br />
) x(t<br />
=<br />
t=<br />
t n + 1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+ 1)<br />
− x = −<br />
) − x(t<br />
h<br />
= x(t<br />
h 2<br />
& x<br />
t=<br />
n<br />
t n + 1<br />
) x<br />
=<br />
n+<br />
1<br />
− x<br />
h<br />
Ako se pretpostavi da je u t=t n , poznato tačno rešenje i da je<br />
x(t n )=x n , tada je<br />
n<br />
32
ε<br />
Tx<br />
Analiza kola<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
= x(t<br />
h 2<br />
& x<br />
n+<br />
1<br />
n+ 1)<br />
− x = −<br />
t=<br />
t n + 1<br />
Lokalna greška zaokruživanja (local truncation error LTE)<br />
proporcionalna je kvadratu veličine koraka h i<br />
brzini promene signala<br />
Vremenski korak h<br />
Brzina odziva<br />
LTE<br />
33<br />
x(t) = x(t<br />
za t = t<br />
x(t ) = x(t<br />
h = t<br />
x&<br />
n<br />
t=<br />
t<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
= x(t &<br />
) + (t − t<br />
n+<br />
1<br />
− t ,<br />
n+<br />
1<br />
) + (t<br />
Analiza kola<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
Tokom izračunavanja izvod pravi se, takođe, lokalna greška<br />
zaokruživanja izvoda<br />
ε<br />
Td<br />
= x(t & x&<br />
n+ 1)<br />
−<br />
n<br />
− t<br />
x(t<br />
) =<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
)x&<br />
n+<br />
1<br />
t=<br />
t<br />
)x&<br />
n+<br />
1<br />
t=<br />
t<br />
) − x(t<br />
h<br />
+<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
1<br />
(t<br />
2<br />
+<br />
− t<br />
1<br />
(t<br />
2<br />
n<br />
) 1<br />
+ hx &&<br />
2<br />
n+<br />
1<br />
− t<br />
t=<br />
t<br />
2<br />
) && x<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
t=<br />
t<br />
2<br />
) && x<br />
+ ...<br />
n+<br />
1<br />
+ ...<br />
t=<br />
t<br />
n+<br />
1<br />
+ ...<br />
34<br />
Znajući da je<br />
sledi<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
Td<br />
Td<br />
Td<br />
Td<br />
= x(t &<br />
x(t<br />
=<br />
Analiza kola<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
x&<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
1<br />
= hx &&<br />
2<br />
1<br />
≈ hx &&<br />
2<br />
) − x&<br />
) − x(t<br />
h<br />
t=<br />
t<br />
t=<br />
t<br />
n+<br />
1<br />
n+<br />
1<br />
x(t<br />
n+<br />
1 n+<br />
1<br />
=<br />
n+<br />
1<br />
n<br />
+ ...<br />
) − x(tn<br />
)<br />
h<br />
) 1<br />
+ hx &&<br />
2<br />
t=<br />
t<br />
n+<br />
1<br />
x(t<br />
+ ... −<br />
n+<br />
1<br />
) − x(tn<br />
)<br />
h<br />
Analiza kola<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
Lokalna greška zaokruživanja izvoda (LTE izvoda)<br />
proporcionalna je veličini koraka h i<br />
brzini promene signala<br />
Vremenski korak h<br />
Brzina odziva<br />
LTE izvoda<br />
35<br />
36
ε<br />
ε<br />
Tx<br />
Analiza kola<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
= x(t<br />
h<br />
2 & x<br />
1<br />
= h&<br />
2<br />
Td<br />
x t =<br />
n+<br />
1<br />
n+ 1)<br />
− x = −<br />
t n + 1<br />
t=<br />
t n + 1<br />
Greška je manja za monotone odzive jer<br />
se izvod aproksimira pravom linijom<br />
Analiza kola<br />
Izbor koraka diskretizacije<br />
Izbor koraka diskretizacije<br />
Kako izabrati pravu veličinu koraka<br />
Korak se bira na osnovu elemenata kola i/ili na<br />
osnovu brzine promene signala pobude.<br />
37<br />
38<br />
Analiza linearnih kola u vremenskom domenu<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
Brzina promene signala u kolu zavisi od vrednosti<br />
vremenskih konstanti u kolu.<br />
Dobra je praksa da se izabere korak h < τ/100 gde<br />
je τ lokalna vremenska konstanta.<br />
Bira se najmanji korak<br />
Primer<br />
RC kolo τ=1ms<br />
Naravno, ako je ograničavajuća promena u kolu<br />
diktirana brzinom pobude tada se izabere korak<br />
koji je u stanju da prati pobudu.<br />
39<br />
40
Primer<br />
Analiza linearnih kola u vremenskom domenu<br />
RC kolo τ=1ms<br />
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu<br />
Odziv RC kola τ=1ms<br />
t<br />
tačno<br />
h=0.01ms<br />
h=0.1ms<br />
h=1ms<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1E-5<br />
9.900498<br />
9.0099<br />
1E-4<br />
9.04837<br />
9.05287<br />
9.09091<br />
1E-3<br />
3.67879<br />
3.69711<br />
3.85543<br />
5.0000<br />
41<br />
42<br />
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu<br />
apsolutna greška<br />
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu<br />
relativna greška<br />
h=10 -3<br />
h=10 -4<br />
43<br />
44
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
Greška je proporcionalna veličini koraka h i<br />
brzini promene & x& signala<br />
Da bi se zadržala konstantna greška, treba smanjiti<br />
korak tamo gde je brzina promene signala veća i<br />
obrnuto.<br />
Ovo je iskorišćeno u algoritmima za automatsku<br />
kontrolu koraka (Spice)<br />
45<br />
Primer:<br />
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
Neka je odziv sinusna funkcija sa amplitudom V=4V i<br />
periodom T=5ms. Odrediti minimalni korak da bi<br />
maksimalna LTE bila ε Tx = 10 -4 V dobija se:<br />
2ε<br />
h<br />
Tx<br />
min =<br />
&& x<br />
2<br />
⎛ 2π ⎞<br />
&& x = 4⎜<br />
⎟<br />
⎝ T ⎠<br />
2π<br />
6<br />
sin t = 6,3 ⋅10<br />
V/s<br />
T<br />
N =<br />
T<br />
h<br />
=<br />
5ms<br />
5,6µ,<br />
2<br />
≈ 892<br />
Za jednu periodu !!!<br />
⇒<br />
h<br />
min<br />
= 5,6µ,<br />
46<br />
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu<br />
Analiza greške diskretizacije<br />
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu<br />
Višekoračna integraciona pravila<br />
k - broj koraka<br />
Greška može da se nagomilava<br />
Ukoliko se ne povećava greška kaže se da je rešenje<br />
stabilno<br />
47<br />
Bolja tačnost, manje LTEza dati korak postiže se boljom<br />
aproksimacijom izvoda<br />
48
•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu<br />
Analiza kola<br />
Primer Oscilator<br />
Analiza nelinearnih kola<br />
u vremenskom domenu<br />
49<br />
50<br />
Analiza kola<br />
Analiza elektronskih kola<br />
1. Uvod<br />
2. Analiza linearnih kola u DC domenu<br />
(jednosmerni režim)<br />
3. Analiza linearnih kola u AC domenu<br />
(frekvencijski domen)<br />
4. Analiza nelinearnih kola u DC domenu<br />
5. Analiza linearnih kola u <strong>TR</strong> domenu<br />
(vremenski domen)<br />
6. Analiza nelinearnih kola u <strong>TR</strong> domenu<br />
51<br />
Analiza kola<br />
Ponašanje nelinearnih reaktivnih kola<br />
u vremenskom domenu domenu<br />
opisuje se sistemom nelinearnih<br />
diferencijalnih jednačina<br />
1 2<br />
R1<br />
V 1<br />
1k<br />
i d<br />
DIODE PIN<br />
i(t)=510 -3 cos(2πft+ϕ)<br />
C1<br />
V 2<br />
1nF<br />
Tip kola i analize<br />
5. Neinearna <strong>reaktivna</strong><br />
u <strong>TR</strong> domenu<br />
D1<br />
v1(<br />
t)<br />
− v2(<br />
t)<br />
= i( t)<br />
R<br />
1<br />
v2(<br />
t)<br />
− v1(<br />
t)<br />
+ Is(e<br />
R<br />
1<br />
v2<br />
( t)<br />
VT<br />
∂v2(<br />
t)<br />
−1)<br />
+ C = 0<br />
∂t<br />
Matematički model<br />
5. Nelinearne<br />
diferencijalne<br />
jednačine<br />
52
Analiza kola<br />
Analiza kola<br />
Tipovi kola i analize<br />
1. <strong>Linearna</strong> otporna DC<br />
domen<br />
2. <strong>Linearna</strong> <strong>reaktivna</strong> AC<br />
domen<br />
3. <strong>Linearna</strong> <strong>reaktivna</strong> <strong>TR</strong><br />
domen<br />
4. Nelinearna otporna<br />
DC domen<br />
5. Nelinearna <strong>reaktivna</strong><br />
<strong>TR</strong> domen<br />
Matematički model<br />
1. Linearne algebarske<br />
jednačine<br />
2. Linearne algebarske<br />
jednačine (kompleksne)<br />
3. Linearne diferencijalne<br />
jednačine<br />
4. Nelinearne algebarske<br />
jednačine<br />
5. Nelinearne diferencijalne<br />
jednačine<br />
53<br />
Matematički model<br />
1. i 2. Linearne jednačine<br />
(realne i kompleksne)<br />
3. Linearne diferencijalne<br />
jednačine<br />
4. Nelinearne algebarske<br />
jednačine<br />
5. Nelinearne<br />
diferencijalne jednačine<br />
Način rešavanja sistema j-na<br />
1. i 2. LU faktorizacija (Gauss)<br />
3. Numeričko integraljenje -<br />
diskretizacija - svođenje<br />
na linearne algebarske<br />
(Euler)<br />
4. Linearizacija - Iterativno<br />
svođenje na linearne<br />
algebarske (Newton-<br />
Kantorovič)<br />
5. Diskretizacija - svođenje na<br />
nelinearne algebarske i<br />
linearizacija - Iterativno<br />
svođenje na linearne<br />
algebarske<br />
54<br />
vremenska petlja<br />
iterativna petlja<br />
Analiza kola<br />
Nelinearne diferencijalne jednačine<br />
Linearizacija Diskretizacija<br />
Nelinearne algebarske jednačine<br />
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Algoritam<br />
Linearne algebarske jednačine<br />
55<br />
56
Analiza kola<br />
Izračunavanje graničnih uslova, t=0, n=0<br />
V in =V i0 , i=1,…,N<br />
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Nelinearna kapacitivna grana<br />
t=t+h, n = n +1, m = 0<br />
m = m +1<br />
V in =V i<br />
n+1,m+1<br />
,<br />
i=1,…,N<br />
Formulacija i rešavanje sistema linearnih<br />
algeb.jednačina, V i<br />
n+1,m+1<br />
, i=1,…,N<br />
ne<br />
Izračunavanje greške<br />
δ=| V i<br />
n+1,m+1<br />
/V i<br />
n+1,m<br />
-1|<br />
δ < ε<br />
Štampanje V i<br />
n+1,m+1<br />
t>T kraj<br />
da<br />
kraj<br />
da<br />
ne<br />
V i<br />
n+1,m<br />
=V i<br />
n+1,m+1<br />
,<br />
i=1,…,N<br />
57<br />
58<br />
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Nelinearna kapacitivna grana<br />
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Nelinearna kapacitivna grana<br />
59<br />
60
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Nelinearna kapacitivna grana<br />
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Nelinearna kapacitivna grana<br />
61<br />
62<br />
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Nelinearna induktivna grana<br />
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Nelinearna induktivna grana<br />
63<br />
64
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Nelinearna induktivna grana<br />
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Problemi primene<br />
1. Početak analize<br />
Krene se sa jednokoračnim pravilom sa h/8<br />
h/8<br />
h/4<br />
h/2<br />
h<br />
2h<br />
3h<br />
65<br />
66<br />
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Problemi primene<br />
Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu<br />
Problemi primene<br />
2. h može da se izračuna za naredni korak, ali ta<br />
vrednost ne mora da bude prihvatljiva<br />
• suviše veliko h – nestabilno<br />
• suviše malo h, dugo traje analiza ali i C/h<br />
može da postane suviše veliko<br />
Zato se u algoritmima ograničava<br />
3. Iterativni postupak u trenutku t=t n+1 počinje<br />
sa rešenjem dobijenim u t=t n (prediktor); ovo<br />
ne mora da bude dobro ako je korak veliki.<br />
4. Skokovita promena pobude<br />
• korekcija, polovi se korak, ako to ne<br />
pomogne, modifikuje se kolo G prema<br />
masi (poveća se vrednost lokalnih<br />
vremenskih konstanti)<br />
h o /100 < h < 100 h o<br />
5. Uštede u formiranju matrice (unutar<br />
algoritma)<br />
67<br />
68
Sledeće nedelje:<br />
Optimizacija elektronskih kola 1<br />
-Izračunavanje koeficijenata osetljivosti<br />
-Telegenova teorema<br />
69