ke staÅ¾enÃ - Mgr. JaromÃr JUÅEK

M - Příprava na 2. zápočtový 

test - třídy 1DP, 1DVK 

Autor: Mgr. Jaromír Juřek 

Kopírování a další šíření výukového materiálu povoleno pouze s uvedením odkazu na http://www.jarjurek.cz 

VARIACE 

1 

Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu 

naleznete na www.dosli.cz.

M - Příprava na 2. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 

± Výrok, logické spojky, kvantifikátory 

Názvové konstanty a proměnné 

S = p . r 2 

S = f (r) 

Říkáme, že S je funkcí r. 

Číslo p je názvová konstanta. Příslušné proměnné říkáme názvová proměnná. 

r - nezávisle proměnná 

S - závisle proměnná 

Písmeno, které je použito jako symbol jednoho určitého objektu, považujeme za názvovou konstantu. 

Písmeno, které je použito jako symbol libovolného objektu z určitého oboru, považujeme za názvovou 

proměnnou. 

Uvedený obor pak nazýváme obor proměnné. 

Výroky a hypotézy, negace výroků 

Za výroky považujeme ty dobře srozumitelné oznamovací věty, které mohou být buď jen pravdivé nebo jen 

nepravdivé. 

Pravdivostní hodnotou výroku se rozumí jedna z jeho kvalit - pravdivost nebo nepravdivost. 

Hypotézou rozumíme výrok, jehož pravdivostní hodnota není známa. 

Pozn.: Věty zvolací, rozkazovací a tázací nejsou výroky. 

Označíme-li libovolný výrok písmenem V, pak výrok 

"Není pravda, že V ..." nazýváme negací výroku V 

Výrok a jeho negace mají opačné pravdivostní hodnoty. 

Příklady: 

V: 6 + 3 = 9 

Šest plus tři se rovná devět 

V´: Není pravda, že 6 + 3 = 9 

Šest plus tři není devět 

V: Po skončení vyučování půjdu na oběd. 

V´: Není pravda, že po skončení vyučování půjdu na oběd. 

Po skončení vyučování nepůjdu na oběd. 

Hovoří-li se ve výroku o jedné z několika možností, musí jeho negace zahrnout všechny ostatní 

možnosti. 

V: V noci nepršelo. 

V´: Není pravda, že v noci nepršelo. 

V noci pršelo. 

V: Nemám červenou vázanku. 

V´: Není pravda, že nemám červenou vázanku. 

Mám červenou vázanku. 

V: Číslo jedna není složené číslo. 

7.12.2008 10:29:35 Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz) 

1 z 14


V´: 

Není pravda, že číslo jedna není složené číslo. 

Číslo jedna je složené číslo. 

V: Číslo 7p ¹ 22 

V´: Není pravda, že číslo 7p ¹ 22 

Číslo 7p = 22 

Existenční kvantifikátory: 

- existuje aspoň 

- existuje nejvýše 

- existuje právě 

Obecné kvantifikátory: 

- pro každé 

- pro žádné 

Výroky, které obsahují pouze existenční kvantifikátory, nazýváme existenční výroky. 

Výroky, které obsahují pouze obecné kvantifikátory, nazýváme obecné výroky. 

Příklady: 

Následující věty o prvočíslech jsou vysloveny ledabyle; zpřesněte jejich formulaci tím, že uplatníte proměnnou 

p označující libovolné prvočíslo a použijte kvantifikátorů. 

a) Nějaké prvočíslo je sudé. 

Existuje aspoň jedno p , které je sudé. 

b) Číslicový zápis prvočísel nekončí nulou. 

Pro žádné p neplatí: Zápis p končí nulou. 

c) Vyskytují se i taková prvočísla, že číslo o 2 větší než ona jsou též prvočísly. 

Existuje aspoň jedno p , pro něž platí: p + 2 je prvočíslo. 

d) Jednociferných prvočísel se nenajde víc než 5. 

Existuje nejvýše 5p, která jsou jednociferná. 

e) Dvě sudá prvočísla nenajdeme. 

Existuje nejvýše jedno p , které je sudé. 

f) Nejedno prvočíslo je zapsáno několika stejnými číslicemi. 

Existují aspoň dvě p , z nichž každé je zapsáno stejnými číslicemi. 

Operace s výroky 

Chceme vyjádřit, že Použijeme spojky Vytvoříme výrok 

Výrok X neplatí Není pravda, že... (non) Není pravda, že X 

X´ 

Negace - non X výroku X 

Platí oba výroky X, Y a (et) X a Y ... konjunkce 

X Ù Y 

Platí aspoň jeden z výroků X, Y nebo (vel) X nebo Y ... alternativa 

(disjunkce) 

X Ú Y 

Platí buď výrok X nebo výrok Y 

(ostrá disjunkce) 

Pokud platí X, pak platí i Y (platnost 

výroku X však není požadována) 

Výroky X, Y mají stejnou 

pravdivostní hodnotu (buď oba platí 

nebo oba neplatí) 

když ..., pak ... 

... právě tehdy, když ... 

... tehdy a jen tehdy, když... 

Buď X nebo Y 

Jestliže X, pak Y... 

Implikace výroku Y výrokem X 

X Þ Y 

X implikuje Y 

X právě tehdy, když Y 

Ekvivalence výroků X, Y 

X Û Y 

X je ekvivalentní s Y 


2 z 14


Konkrétní příklady: 

X Y X´ X Ù Y X Ú Y X Þ Y X Û Y Buď X 

nebo Y 

1 1 0 1 1 1 1 0 

1 0 0 0 1 0 0 1 

0 1 1 0 1 1 0 1 

0 0 1 0 0 1 1 0 

Používaná symbolika: 

Î ... je elementem, náleží, patří, ... 

Ï ... není elementem, neleží, nepatří, ... 

"x ... ke každému, každé, ... 

$x ... existuje aspoň (jedno x, ...) 

: ... platí 

¥ ... (nekonečno) - matematický symbol 

± Množiny a operace s nimi 

Množiny a operace s nimi 

Co je množina 

Množinovými pojmy vyjadřujeme matematické úvahy o skupinách (souhrnech, souborech, oborech) osob, věcí i 

abstarktních věcí. Společné vlastnosti skupin, oborů, útvarů, souhrnů vyjadřujeme v matematice pomocí 

základních množinových pojmů: 

Skupina, organizace, obor, útvar - množina 

Část skupiny, dílčí organizace, podobor, část útvaru - podmnožina 

Být členem organizace, patří do skupiny, náležet do oboru, patřit do útvaru - být prvkem množiny 

Skupina bez členů, útvar neobsahující žádný bod, prázdný obor - prázdná množina 

Množinu lze zadat: 

- výčtem prvků 

- pomocí charakteristické vlastnosti 

Inkluze a rovnost množin: 

- inkluzi množiny A v množině B zapisujeme A Ì B (čteme též "Množina A je podmnožinou množin B") 

- rovnost množin zapisujeme A = B 

Každá množina je i podmnožinou sama sebe. 

Každá prázdná množina je podmnožinou každé množiny. 

Pozn.: Platí, že A Ì B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je zároveň i prvkem množiny B. 

Platí, že A = B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je i prvkem množiny B a zároveň pro každý 

prvek množiny B platí, že je i prvkem množiny A. 

Doplněk množiny: 

Jsou-li A, U dvě množiny, pro které platí A Ì U, pak existuje množina všech prvků množiny U obsahující prvky, 

které nepatří do A. Tuto množinu nazveme doplňkem množiny A v množině U (označujeme A´) 

Průnik a sjednocení množin: 

Jsou dány množiny A, B, přičemž A ¹ B. Množinu všech prvků, které obsahují prvky aspoň jedné z množin A, B 

nazveme sjednocení množin A, B. Zapisujeme A È B. 

Množinu všech prvků, které patří do množiny A a zároveň i do množiny B, nazýváme průnik množin A, B. 


3 z 14


Zapisujeme A Ç B. 

Množiny, které nemají společné prvky, nazýváme disjunktní množiny. 

Rozdíl množin: 

Jsou dány množiny A, B, přičemž A ¹ B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A, ale nepatří do množiny 

B, nazveme rozdíl množin. 

Zapisujeme A \ B. 

Množinové operace často znázorňujeme Vennovými diagramy. 

Řešení úloh: 

• Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: 

M = A Ç B Ç C'. 

Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. 


M = (A U B) Ç C'. 



M = A Ç B' Ç C'. 



M = A U (B Ç C'). 



M = (A' Ç B') U (A Ç B). 



M = (A U B) Ç (C U B). 


• Mezinárodní konference o teorii množin se účastní celkem 134 matematiků, z nich každý ovládá alespoň 

jeden z těchto jazyků: ruštinu, francouzštinu, angličtinu. 15 z nich ovládá všechny tři jazyky, angličtinu 

zná o 28 účastníků více než ruštinu. Těch, kteří ovládají ruštinu a francouzštinu a neznají angličtinu, je 

pětkrát méně, než těch, kteří znají pouze angličtinu. Účastníků konference, kteří znají jenom ruštinu, je 

třikrát více než těch, kteří ovládají ruštinu a angličtinu, ale neznají francouzštinu. Těch, kteří znají 

jenom francouzštinu je právě tolik, jako těch, kteří ovládají jenom angličtinu. Účastníků, kteří 

ovládají angličtinu a ruštinu, ale neznají francouzštinu, je o 18 méně než těch, kteří neovládají ruštinu, 

ale znají francouzštinu a angličtinu. Předseda organizačního výboru mluví všemi třemi jazyky. Ve kterém 

z nich by měl přednést uvítací projev, aby jej mohlo poslouchat co nejvíce účastníků bez tlumočníka 

• Z 35 žáků odebírá časopis ABC 8 žáků, časopis VTM 10 žáků. 21 žáků neodebírá žádný z těchto dvou 

časopisů. Kolik žáků odebírá oba časopisy. 

± Algebraické výrazy 

Algebraické výrazy 

Mezi zápisy s číselnými proměnnými patří: 

• výrazy 

• výrokové formy 


4 z 14


• výroky s kvantifikátory 

Po dosazení přípustných proměnných hodnot do: 

výrazu ... dostaneme číslo 

výrokové formy ... dostaneme výrok 

• do výroků s kvantifikátory ... nemá smysl dosazovat číselné hodnoty 

Rovnost a úpravy výrazů 

Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, 

výsledků operací. 

Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv. definiční 

obor výrazů. 

O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li: 

a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M 

b) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky 

Přehled důležitých vzorců: 

(A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 

(A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 

(A - B).(A + B) = A 2 - B 2 

(A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 

(A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 

A 3 - B 3 = (A - B).(A 2 + AB + B 2 ) 

A 3 + B 3 = (A + B).(A 2 - AB + B 2 ) 

± Algebraické výrazy - procvičovací příklady 

1. Umocněte: (10 - 2a) 2 

Výsledek: 

100 - 40a + 4a 2 

2. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1 

Výsledek: 

Rozdíl 3, součin x 2 + x - 2 

3. Rozložte na součin: x 2 - 2xy + y 2 - x + y 

Výsledek: 

(x - y) . (x - y - 1) 

4. Vypočtěte rozdíl výrazů x + 2 a x - 1 

Výsledek: 

5. Upravte: [(a 2 b 3 ) 3 ] 2 

Výsledek: 

3 

a 12 b 18 

6. Upravte: (2x - 0,2y) . (2x + 0,2y) 

Výsledek: 4x 2 - 0,04 y 2 

1093 

1091 

1104 

1096 

1098 

1100 


5 z 14


7. Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s) 2 

Výsledek: 

-10s.(5s + 2h) 

8. Výraz 4k 2 - (2k + 1) 2 - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte 

dosazením za k = 3 

Výsledek: -8k + 7 

9. Doplňte: ( - 3) 2 = 16x 2 - + 

Výsledek: První = 4x; druhý = 24x; třetí = 9 

1092 

1090 

1105 

10. Rozložte na součin výraz: 18xy 2 - 21x 2 y 

Výsledek: 

3xy.(6y - 7x) 

11. Rozložte na součin: 4x 2 (y 2 – z 2 ) + 25v 2 (z 2 – y 2 ) 

Výsledek: 

(y - z) . (y + z) . (2x - 5v) . (2x + 5v) 

12. Upravte daný výraz 3x 2 y - {xyz - (2yz - x 2 z) - 4x 2 z + [3x 2 y - (4xyz - 5x 2 z)]}. Výsledek 

ověřte dosazením pro x = 1, y = -1, z = 0 

Výsledek: 3xyz - 2x 2 z + 2yz 

13. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost 

(... + 3y) 2 = 4x 2 + ... + ... 

Výsledek: 12xy 

14. Výraz K = 16a 2 – a 4 x 2 rozložte na součin aspoň tří činitelů 

Výsledek: 

K = a 2 .(4 - ax).(4+ax) 

15. Upravte: (1,2x 2 - 0,3y) 2 

Výsledek: 

1,44x 4 - 0,72x 2 y + 0,09y 2 

16. Upravte: (2x - 5) 2 - (2x - 3).(5x + 2) 

Výsledek: 

-6x 2 - 9x + 31 

17. Rozložte na součin: 4 – x 2 

Výsledek: 

(2 - x) . (2 + x) 

18. Rozložte na součin: (2m - 1).5x – 8.(2m - 1) 

Výsledek: 

(2m - 1) . (5x - 8) 

19. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -2 

8x - [2x – 6.(x - 1) 2 + 2] - (3x 2 - 5x).2 

Výsledek: 4.(x + 1) 

20. Vypočítejte: (3 - x) 2 - 3(x 2 - 3) + (-2x) 2 

Výsledek: 

2.(x 2 - 3x + 9) 

1088 

1087 

1107 

1089 

1112 

1099 

1106 

1094 

1095 

1111 

1108 


6 z 14


21. Rozložte v součin výraz: 9s 2 v 2 - 4r 2 v 2 - 9u 2 s 2 + 4u 2 r 2 . Správnost ověřte dosazením u=-1, 

v=2, s=1, r=0 

Výsledek: (v - u) . (v + u) . (3s - 2r) . (3s + 2r) 

22. Vypočtěte: (4a 2 b + 5a 3 b 2 ) 2 = 

Výsledek: 16a 4 b 2 + 40a 5 b 3 + 25a 6 b 4 

1103 

1086 

23. Vypočtěte součin výrazů x + 2 a x - 1 

Výsledek: 

x 2 + x - 2 

24. Rozložte na součin výrazy: a) 2x 2 - 4xy + 2y 2 b) 5t - 2tm - 10m + 25 

Výsledek: 

a) 2 . (x - y) 2 b) (t + 5) . (5 - 2m) 

25. Rozložte na součin: a 2 + 2ab + b 2 – c 2 

Výsledek: 

(a + b + c) . (a + b - c) 

26. Výraz - (-2x + 1) 2 se po úpravě rovná čemu 

Výsledek: 

-4x 2 + 4x - 1 

27. Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu 

ověřte dosazením za x = -3 

Výsledek: -4(x + 3) 

28. Upravte: a 2. 3b 2ȧb.2b2 a 3. 4b 4 

Výsledek: 

24a 6 b 9 

29. Výraz (3k - 2) 2 - 4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením 

k = 3 

Výsledek: 

k 2 - 2 

1097 

1109 

1113 

1110 

1085 

1101 

1102 

± Lomené algebraické výrazy 

Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. 

U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku 

řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl). 

Př.: 

ax+ 

b 

cx+ 

d 

Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou 

x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). 

Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c 

Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. 

Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od 

nuly. 


7 z 14


Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. 

Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného 

jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. 

Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. 

Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. 

Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto 

vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. 

Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů 

Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek 

uvedeme do základního tvaru. 

Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele 

proti kterémukoliv jmenovateli. 

Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele 

výrazu lomeného. 

Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou 

hodnotou lomeného výrazu druhého. 

Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se 

jmenovatelem. 

Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. 

Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve 

jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. 

Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. 

Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak 

dále. 

Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý 

příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů. 

± Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady 

1. 

1174 

Výsledek: 

-1,7 


8 z 14


2. 

1167 

Výsledek: 

3. 

1180 

Výsledek: 

4. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 

æ 1 1+ 

x ö 

ç - ÷ .(- 

2x) 

è x x ø 

Výsledek: 

2x; x ¹ 0 

1195 

5. 

1169 

Výsledek: 

6. 

1172 

Výsledek: 


9 z 14



4r 

2 

2 

+ 28rs 

+ 49s 

.( 2r 

- 7s) 

2r 

+ 7s 

2 2 7 

4r 

- 49s 

; r ¹ - s 

2 

Výsledek: 


æ xy- 

y 

ç 

è y x 

Výsledek: 

2 

xy 

ö 

÷ 

ø 

- . 

3 2 

2 

(- 

xy ) 

3 - x; x ¹ 0, y ¹ 0 


18v 

.( 5v 

+ 7) 

30v 

+ 42 

Výsledek: 3v; v ¹ -7/5 

1190 

1197 

1189 

10. 

1175 

Výsledek: 


3 + 5x 

2 

.21x 

7x 

Výsledek: 9x + 15x 2 ; x ¹ 0 


1 

3x 

y 

2 2 

(- 

x y ) 

. 6 

2 

Výsledek: 

-2y; x ¹ 0, y ¹ 0 


æ 1 3s 

+ r 

ç - 

2 

è r - 3s 

9s 

- r 

Výsledek: 

2 

-2; r ¹ ± 3s 

ö 

÷ . 

ø 

( 3s 

- r) 

1182 

1183 

1203 


10 z 14



a - 2b 

+ 1 

.( a - 2b 

-1) 

2 

a - 2b 

-1 

( ) 

Výsledek: 1; a ¹ 2b - 1, a ¹ 2b + 1 

1192 

15. 

1181 

Výsledek: 

16. Zjednodušte a uveďte, kdy má lomený výraz smysl: 

6x 

-1 

.( 12x 

+ 2) 

6x 

+ 1 

Výsledek: 2.(6x - 1); x ¹ -1/6 


2 

( 4 p 4 pq) 

p - q 

. - 

2 2 

4 p -8pq 

+ 4q 

Výsledek: 

p; p ¹ q 


m - 5n 

.( 2n 

- 3m) 

3m 

- 2n 

Výsledek: 5n - m; n ¹ (3/2)m 


2 

x 

x 

- 

+ 

y 

y 

2 

Výsledek: 

(-1) 

. 

y - x; x ¹ -y 

1185 

1191 

1202 

1194 

20. 

1173 

Výsledek: 


11 z 14


21. 

1179 

Výsledek: 


x - y 

.( x - 2y) 

x 

2 - 4y 

2 

Výsledek: 

x - y 

; x ¹ ± 2y 

x + 2y 

1187 

23. 

1170 

Výsledek: 


8x 

+ 7 

.( 14 -16x) 

8x 

- 7 

Výsledek: -2.(8x + 7); x ¹ 7/8 


1186 

1184 

Výsledek: 

3x; x ¹ 0, x ¹ 1 


1- 

2x 2 

.( - 6x 

) 

3x 

Výsledek: 4x 2 - 2x; x ¹ 0 


2 2 2 

.( y - z ) 

y + z 

Výsledek: 2 . (y - z); y ¹ -z 

1200 

1201 


12 z 14


28. 

1176 

Výsledek: 


3 2 

u + u 

. 

2 

u -1 

( u -1) 

Výsledek: u 2 ; u ¹ ± 1 

1188 

30. 

1168 

Výsledek: 


æ 1 1 ö 

ç1+ 

+ . x 

2 

÷ 

è x x ø 

Výsledek: x 2 + x + 1; x ¹ 0 

2 

1196 

32. 

1178 

Výsledek: 


3a 

+ 2 - b 

.( 2 + b - 3a) 

2 

4 - 3a 

- b 

Výsledek: 

( ) 

1; b ¹ 3a - 2; b ¹ 3a + 2 


æ x x - 2y 

ö 

ç + ÷ .( 2y 

+ x) 

2 2 

è x + 2y 

x - 4y 

ø 

Výsledek: 

x + 1; x ¹ ± 2y 

1193 

1198 


13 z 14


35. 

1171 

Výsledek: 


æ 2 x + 3y 

ö 

ç - ÷ . - 

2 2 

è 3y 

- x x - 9y 

ø 

Výsledek: -3; x ¹ ± 3y 

( x 3y) 

1199 

37. 

1177 

Výsledek: 


14 z 14


Obsah 

Výrok, logické spojky, kvantifikátory 1 

Množiny a operace s nimi 3 

Algebraické výrazy 4 

Algebraické výrazy - procvičovací příklady 5 

Lomené algebraické výrazy 7 

Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady 8 

7.12.2008 10:29:35 

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

ke staÅ¾enÃ­ - Mgr. JaromÃ­r JUÅEK

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

ke staÅ¾enÃ - Mgr. JaromÃr JUÅEK