PrÃklady

More documents

Recommendations

Info

RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Príklady z Logických systémov Príklad 3. Aká je pravdivostná hodnota kvantifikovaného výroku ≥x c R ≤y c R xy > x + y Napíšte jeho negáciu. Riešenie. Ak by existovalo číslo x = x 0 také, že pre všetky y c R by platilo x 0 y > x 0 + y, potom by − x 0 > y − x 0 y − x 0 > (1 − x 0 )y Túto nerovnosť môžeme ďalej upraviť v závislosti od toho, či a) x 0 = 1, b) x 0 > 1, c) x 0 < 1. a) −1 > 0.y. Táto nerovnosť neplatí pre žiadne y. −x b) 0 < y. Táto nerovnosť neplatí napr. pre číslo y= −x 0 − 1. 1 − x 0 1 − x −x 0 c) 0 > y. Táto nerovnosť zas neplatí napr. pre číslo y= −x 0 + 1. 1 − x 0 1 − x 0 Vidíme, že také číslo x 0 neexistuje, preto daný výrok je nepravdivý, t.j. jeho pravdivostná hodnota je 0. Negácia uvedeného výroku: ≤x c R ≥y c R x 0 y [ x 0 + y. Príklad 4. Zistite, či výroková formula b = (p e q) e q je tautológia, kontradikcia alebo splniteľná formula. Riešenie. Zistíme to pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt. p q p e q q b 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 Z tabuľky vyplýva, že b je splniteľná formula. Príklad 5. Zistite, či výrokové formuly a = p e (p . q) , b = p e q sú tautologicky ekvivalentné. Riešenie. Úlohu budeme riešiť pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p . q 0 0 0 1 a 1 1 0 1 b 1 1 0 1 Výrokové formuly a, bmajú rovnaké pravdivostné ohodnotenie, preto a{ b. Príklad 6. Úpravami (pomocou tabuľky tautologických ekvivalenci) dokážte, že výrokové formuly a = p e (q . r) , b = p . (q e r) sú tautologicky ekvivalentné. 2
Príklady z Logických systémov RNDr. Peter Kaprálik, PhD. Riešenie. a = p e (q . r) { p - (q . r) { p . (q . r) { p . (q - r) { p . (q e r) = b Príklad 7. Zistite, či relácia = (x, y); x 2 − x = y 2 − y na množine R je reflexívna, symetrická, antisymetrická, tranzitívna. Riešenie. Pre každé x c R platí x 2 − x = x 2 − x, preto x x. Relácia je teda reflexívna. Nech x y t.j. x 2 − x = y 2 − y. Potom aj y 2 − y = x 2 − x a teda y x, čo znamená, že relácia je symetrická. Nech x y, y z. Potom x 2 − x = y 2 − y, y 2 − y = z 2 − z, odkiaľ vyplýva x 2 − x = z 2 − z, teda x z. To ale znamená, že je tranzitívna relácia. Nech x y, y x t.j. x 2 − x = y 2 − y. Upravme túto rovnosť: x 2 − y 2 + y − x = 0 (x − y)(x + y) − (x − y) = 0 (x − y)(x + y − 1) = 0 Vidíme, že táto rovnosť je splnená pre x = y ale aj pre y= 1 − x. Potom však napr. pre x= 3, y = 1 − 3 =−2 platí (3, −2) c , (−2, 3) c , ale 3 ! −2. Preto relácia nie je antisymetrická. Príklad 8. Na množine A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 je daný rozklad T = 2, 5, 6 , 1, 3 , 4 . Napíšte reláciu ekvivalencie, ktorá je indukovaná rozkladom T. Riešenie. Reláciu indukovanú rozkladom T označme . Dvojica (x, y) c A patrí do relácie práve vtedy, keď x, y patria do tej istej triedy rozkladu. Teda = (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5), (5, 2), (2, 6), (6, 2), (5, 6), (6, 5), (1, 1), (3, 3), (1, 3), (3, 1), (4, 4) 1.2. Cvičenia Zobrazenia a operácie 1. Zistite, či dané zobrazenia sú injektívne, surjektívne alebo bijektívne. a) h 1 : Z t Z, h 1 (x)=2x, b) h 2 : R t R, h 2 (x)=2x, c) h 3 : R t R, h 3 (x)=x 2 , d) h 4 : R + t R, h 3 (x)=x 2 , e) h 5 : R t R + 4 {0}, h 5 (x)=x 2 , f) h 6 : R + t R + , h 6 (x)=x 2 g) h 7 : R # {2} t R, h 7 (x)= 3x + 1 , x − 2 h) h 7 : R # {2} t R # {3}, h 7 (x)= 3x + 1 . x − 2 2. Zistite, či dané operácie sú komutatívne, asociatívne a či majú neutrálny prvok. a) ' : (R + ) 2 t R + , a ' b = a b , b) ± : N 2 t N, a ± b = b, c) ¿ : N 2 t N, a ¿ b = a, d) f : R 2 t R, f (x, y)=x + y + 1. 3
Page 1: Príklady z LS RNDr. Peter Kapráli
Page 5 and 6: Príklady z Logických systémov RN

PrÃ­klady

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

PrÃklady