3. Równania i nierówności

3. Równania i nierówności
3.1. Równania i nierówności kwadratowe
z jedną niewiadomą
zobacz: Trener, s. 32–33
zadania zamknięte
Zad. 1.
Zad. 6.
⎛
C. 5⎞
−∞;
−
⎝⎜
⎠⎟
; D.
2 3; ∞ 2
Rozwiązaniami równania kwadratowego 2x − 8= 0 są Iloczyn x−2⋅ ( x+
5 ) przyjmuje wartość dodatnią dla:
liczby:
A. x >−5; B. x ≥−5; C. x >−2; D. x ≥−2 .
A. 2 i − 2; B. 2 i 4; C.−2 i 4; D. 4 i − 4.
Zad. 7.
Zad. 2.
Wskaż równanie, które ma dokładnie jeden pierwiastek.
2
Rozwiązaniami równania kwadratowego x −x− 6= 0 są
A. x 2 + 5= 0; B. x 2 − 5= 0;
2
liczby:
C. ( x + 5) = 0; 2
D. x + x− 1= 0.
A. 6, − 1; B. 1, 6; C. 3, − 2; D.−2, 3.
Zad. 8.
Zad. 3.
Dziedziną wyrażenia − 2
2x
+ x + 1
jest:
2
x − 2x+
1
Jednym z rozwiązań równania kwadratowego
A. R; B. R \{ −11;
, }
2
ax + 3x
− 1= 0 jest liczba 2. Współczynnik a jest równy:
C. R \{}; 1
D. R \{}.
0
A. − 5 ;
4
B. –5; C. 0; D. 1.
Zad. 9.
Zad. 4.
Które z podanych wyrażeń jest postacią kanoniczną trójmianu
kwadratowego 3x
−12x− 15
2
Zbiorem rozwiązań nierówności kwadratowej x 2 > 1 jest:
2
2
A. 3( x −4x−5); B. 3( x −2) − 27;
A. ( 1; ∞); B. ( −1; ∞)
;
2
C. ( −∞; −1)∪( 1 ; ∞)
; D. ( −11
, ).
C. 3( ( x −2) −5); D. 3( x+
1) ( x−5).
Zad. 5.
Zbiorem rozwiązań nierówności kwadratowej
2
2x
−x− 6> 0 jest:
Zad. 10.
2
Dla której z podanych wartości m równanie x − x+ m=
0
ma dwa pierwiastki
A. ⎞
5
− ;
⎝⎜
2 3 ⎠⎟
; B. ⎞
−∞ −
⎝⎜
5
2⎠⎟ ∪(
3 ; ∞)
;
A. m = 1 2 ; B. m = 1 3 ; C. m = 1 4 ; D. m = 1 5 .
Zadania, testy i arkusze maturalne
37

zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
Zad. 11.
Rozwiąż równanie:
a) x 2 − 1= 0; 2
b) − 2x + 2=
0;
2
c) 3x + 3= 0; 2
d) 2x − 8= 0;
2
e) 2x − 4= 0; 2
f) −2x − 4=
0.
Zad. 12.
Rozwiąż nierówność:
a) x 2 − 1< 0; b) − x 2 + 4<
0;
c) x 2 − 4< 0; 2
d) 4x −2≥ 0;
2
e) 3x + 6≥ 0; 2
f) 5x + 1≤ 0.
Zad. 14.
Rozwiąż nierówność:
2
2
a) x − x> 0; b) x + 2x≥ 0;
2
2
c) − 2x + 5x > 0; d) 3x
−8x≤ 0;
2 2
2
e) − x − 4x > 0; f) 2x
+ 3x> 0.
3
Zad. 15.
Jaką liczbę dodatnią przybliżono jej odwrotnością, jeśli
błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 5 6
Zad. 13.
Rozwiąż równanie:
2
2
a) x − x= 0 ; b) x + 3x= 0;
2
2
c) 2x
+ 3x= 0 ; d) 2x
− 7x= 0;
2 1
2
e) −2x − x = 0 ; f) 2x
+ 5x= 0.
4
Zad. 16.
Wyznacz równanie kwadratowe o współczynniku przy x 2
równym 1, aby jedynym jego rozwiązaniem była liczba:
a) −3; b) 1 2 ; c) 2 .
zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
Zad. 17.
Rozwiąż równanie:
2
a) x − 21 , x+ 11 , = 0; 2
b) − 5x + 11x − 6=
0;
2
c) x − 2x+ ( 1−
2) ( 2+
1)= 0 ;
2
d) 10x
+ 7x+ 1= 0 ;
2
e) 8x
+ 10x+ 3= 0;
2
f) x + 9x+ 8= 0 ;
2
g) x + 7x+ 10= 0;
2
h) 3x
+ 10x+ 8= 0; 2
i) 6x
+ 5x+ 7= 0;
2
j) 8x
+ 3x− 5= 0; 2
k) x + 4x− 5= 0;
2
l) − 6x + 4x + 2=
0; 2
m) −7x − 3x + 4=
0 ;
2
n) −2x − 7x + 4=
0 ;
2
o) −x
− 7x+ 8=
0.
Zad. 18.
Rozwiąż nierówność:
2
a) x − 6x+ 5< 0; 2
b) x + 4x+ 4≤ 0;
2
c) x −x− 5> 0; 2
d) 2x
− 3x+ 2> 0;
2
e) − x + x−1≥0; 2
f) x − 5x− 5< 0.
Zad. 19.
Liczbę x zmniejszono cztery razy, następnie otrzymaną
liczbę zmniejszono o 1 i otrzymano liczbę przeciwną do
odwrotności liczby x. Wyznacz liczbę x.
Zad. 20.
Uczeń zamiast liczby dodatniej podał jej odwrotność i okazało
się, że pomylił się o 1. Jaką liczbę podał
38 Zadania, testy i arkusze maturalne

Zad. 21.
Wykaż, że jeżeli w równaniu kwadratowym
2
ax + bx + c = 0 współczynniki a i c są różnych znaków,
to równanie ma dwa pierwiastki.
Zad. 22.
4 2
a) x − 5x
+ 4= 0; b) x 4 − 16 = 0 ;
4 2
c) x − 9x
= 0; 4 2
d) x + x + 1= 0;
4
e) − 2x + 18=
0; 4 2
f) x + 25x
= 0;
4 2
g) x −x
− 1= 0; 4 2
h) x − 12x
+ 32 = 0 ;
4
i) − 2x + 2048=
0.
3.2. Układy równań prowadzące do równań kwadratowych
Zad. 1.
Zad. 4.
Rozwiąż układ równań:
Rozwiąż układ równań:
⎧12x− 5y=
0
⎧x+ y=
a) ⎨
⎪ 3
⎩
⎪ x⋅ y=
2 ;
a) ⎨
⎪
;
2 2
⎩
⎪x
+ y − 169 = 0
⎧
2 2
⎧x+ y=
b) ⎨
⎪ 2
x + y = 5
⎩
⎪ x⋅ y=
3 ;
b) ⎨
⎪
;
⎩
⎪x+ y=
5
⎧2x− 3y=
2
⎧
c) ⎨
⎪
x+ y− =
.
c) ⎨
⎪
2 0
.
2 2
⎩
⎪ 2x⋅ y=
1
⎩
⎪x
+ y − 2=
0
Zad. 2.
Zad. 5.
Rozwiąż układ równań:
Rozwiąż układ równań:
⎧x− y=
a) ⎨
⎪
0
⎧
2 2
( x−
) + y − =
;
a)
2
⎨
⎪ 6 25 0
;
⎩
⎪y=
x
2 2
⎩⎪
x + y − 25 = 0
⎧2x−y− 3=
0
⎧
2 2
b) ⎨
⎪
;
b) ⎪x + y −4x− 8y+ 19=
0
2
⎨
;
⎩
⎪x −y− 4x+ 5=
0
2 2
⎩⎪
x − 12x+ y + 11=
0
⎧
2
− − − − =
c) ⎨
⎪ 2x y 12x
16 0
⎧
2 2
.
c) ⎪x + y + 4x−2y− 3=
0
⎨
.
⎩
⎪−2x−y− 8=
0
2 2
⎩⎪
x + y −2x− 8y+ 15=
0
Zad. 3.
Zad. 6.
Rozwiąż układ równań:
Rozwiąż układ równań:
⎧
2
y=
x
a) ⎨
⎪
1 2
y= x + 2 ;
⎧x⋅y− =
a) ⎨
⎪
12 0
;
2 2
⎩⎪
2
⎩
⎪x
+ y − 25 = 0
⎧
2 2
⎧
2
x + y −2x− 2y+ 1=
0
− − + − =
b) ⎪ x y 4x
1 0
⎨
2
⎩⎪
x −8x− 3y+ 13=
0 ;
b) ⎨
⎪
;
⎩
⎪x⋅y− 4=
0
⎧x⋅y− =
⎧
2
c)
y+ x + x− =
c) ⎪ 2 1 0
⎨
⎪
9 0
.
2 2
⎨
2
⎩⎪
10y+ x + 2x− 19 = 0 . ⎩
⎪x + y − 8x+ 8y− 18=
0
Zadania, testy i arkusze maturalne
39