∑− ∫− ∫

Počítačová (výpočtová) tomografia (CT)
C - computer, computed, computerized (computerised) tomography
T - gr. "tomos" (rez); "graphe" (zapisovanie, zaznamenávanie, kreslenie)
Prechod Rtg lúča cez vyšetrovaný objekt
(a) homogénny materiál
(b) po častiach homogénny materiál
I 0
I 1 I 0
µ µ 1 µ 2 µ 3
I m
l l 1 l 2 l 3
I = I exp( −µ
)
1 0
l
I m
= I
0
exp( −µ
1
l1
) exp( −µ
2
l2
)exp( −µ
3
l3
)
= I exp( −µ
l − µ l − µ l )
0
1
1
2
2
3
3
I - intenzita žiarenia
µ - lineárny koeficient tlmenia, l - hrúbka vrstvy
Všeobecne I = I exp( − µ l )
m
0 ∑
i
a pri spojite sa meniacom koeficiente µ
x2
0 ∫
x1
i
i
I = I exp( − µ ( x)
dx)
I m - detekovaná intenzita žiarenia po prechode objektom
m
I ⎞
0
ln ⎜
⎟ =
⎝ Im
⎠
x2
⎛
∫
x1
I 0 - intenzita dopadajúceho žiarenia = detekovaná
intenzita bez prítomnosti objektu
µ ( x)
dx meraním získame integrál koeficienta útlmu v smere šírenia lúča
2D obraz - súbor integrálov získame rotáciou a posunom zdroja a detektora
(a) prvá generácia
(b) súčasná generácia tomografu

Radonova transformácia
Radonova transformácia je projekciou hodnôt dvojrozmernej funkcie f(x,y) pod zvoleným
uhlom a matematicky je definovaná ako krivkový integrál f(x,y) 1.druhu, pričom integračné
dráhy sú priamky kolmé na smer priemetu. (funkcia f = koeficient tlmenia µ(x,y) v rovine
rezu)
s
y
r
ϕ
L
x
Transformácia súradníc pri rotácii
⎡x⎤
⎡cosϕ
⎢ ⎥ = ⎢
⎣y⎦
⎣sin
ϕ
− sin ϕ⎤
⎡ ⎤
⎥ ⋅ r
cosϕ
⎢ ⎥
⎦ ⎣s⎦
Def. Radonovej transformácie
{ f ( x,
y)
}(
r,
ϕ)
= ∫ f ( x,
y)
dl = ∫
p( r,
ϕ ) = R
f ( r.cosϕ
− s.sin
ϕ,
r.sin
ϕ + s.cosϕ)
ds
Príklad
Zobrazte projekcie funkcie f pre niekoľko uhlov
f(x,y)=1 pre (x,y): |x| 0.
2
b)
c)
sin( ax)
sin( by)
f ( x,
y)
=
ax by
2 2
J1 ( x + y )
f ( x,
y)
= , kde J 1 je Besselova funkcia prvého rádu.
2 2
x + y

Rekonštrukcia obrazu
= obnova f(x,y) zo súboru projekcií p(r,ϕ)
Rekonštrukcia je založená na projekčnej teoréme (teoréma Fourierovho rezu):
1D Four. TR. projekcie p(r,ϕ) sa rovná radiálnemu rezu 2D Four, Tr. funkcie f(x,y) pod
uhlom ϕ, t.j.
označ
P( ω,
ϕ)
= ∫ p(
r,
ϕ)exp(
− jωr)
dr = F(
ω cosϕ,
ω sin ϕ)
,
označ
kde F( u,
v)
= ∫∫ f ( x,
y)exp(
− jxu − jyv)
dxdy je 2D FT funkcie f(x,y)
y
2D-FT
v
ϕ
r
x
ϕ
ω
u
Postup pri rekonštrukcii
1. Priama Fourierova metóda
p(
r,
ϕ )
1D−FT
⇒
P(
ω,
ϕ)
polár−Kartezián.
⇒
F(
u,
v)
2D−Inv.
FT
⇒
f ( x,
y)
2. Filtrácia + spätná projekcia
2D inv. FT vyjadríme v polárnych súradniciach a využijeme teorému rezu, výsledok:
FILTRÁCIA
SPATNÁ PROJEKCIA
p( r,
ϕ ) ⇒ q(
r,
ϕ)
⇒ f ( x,
y)
a) Filtrácia projekcie - vyjadrenie vo frekvenčnej oblasti
1
+∞
q ( t,
ϕ)
= P(
ω,
ϕ)
| ω |exp( jωt)
dω
2π
∫
−∞
H ( ω ) = | ω | je teoretická frekvenčná charakteristika filtra
b) spätná projekcia
π
1
f ( x,
y)
= ∫ q(
x.cosϕ
+ y.sin
ϕ,
ϕ)
dϕ
2π 0