Laboratorium – Metoda Elementów Skończonych - tomasz strek ...
Laboratorium – Metoda Elementów Skończonych - tomasz strek ...
Laboratorium – Metoda Elementów Skończonych - tomasz strek ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Laboratorium</strong> <strong>–</strong> <strong>Metoda</strong><br />
<strong>Elementów</strong> <strong>Skończonych</strong><br />
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL<br />
Multiphysics 3.4<br />
Radosław Inczewski, Tomasz Kiwerski<br />
2013-06-30<br />
Wydział: ELEKTRYCZNY<br />
Kierunek: MATEMATYKA (studia stacjonarne II stopnia)<br />
Rok studiów: I<br />
Semestr: drugi<br />
Rok akademicki: 2012/2013<br />
Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. PP
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Wstęp.<br />
COMSOL Multiphysics jest pakietem symulacyjnym, rozwiązującym układy<br />
nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych przy wykorzystaniu metody elementów<br />
skończonych w jednym, dwóch lub trzech wymiarach. COMSOL Multiphysics pozwala na<br />
łatwe badanie, symulowanie i analizowanie złożonych zjawisk zachodzących w<br />
modelowanym systemie. Jest stosowany w różnych obszarach zastosowań inżynierskich i<br />
naukowych takich jak elektrotechnika, mechanika, inżynieria chemiczna, geofizyka,<br />
sterowanie, matematyka stosowana. W badanych systemach można opisywać wiele różnych<br />
zjawisk fizycznych i modelować je równocześnie, uzyskując wyniki bardzo dokładnie<br />
odzwierciedlające zachowanie rzeczywistego systemu. COMSOL pozwala również na szybkie<br />
i wygodne tworzenie modeli, uruchamianie symulacji oraz wizualizację wyników. Program<br />
pozwala rozwiązywać zagadnienia związane z np. elektromagnetyzmem, akustyką,<br />
mechaniką płynów (przepływy stacjonarne jak i niestacjonarne), przepływem ciepła,<br />
naprężeniami (statycznie oraz dynamicznie) czy konwekcją.<br />
Celem projektu jest zaprojektowanie oraz analiza prostych układów przy użyciu<br />
programu COMSOL. Dalsza część pracy zawiera analizę przepływu ciepła na uproszczonym<br />
przykładzie radiatora, analize stanu naprężeń i odkształceń na przykładzie modelu<br />
dwuteownika oraz analizę przepływu krwi w tętnicy pacjenta ze zmianami miażdżycowymi.<br />
Każda analiza poprzedzona jest wstępem zawierającym opis zjawiska/doświadczenia jak i<br />
badanego obiektu (dane materiałowe) oraz krótkim wstępem teoretycznym.<br />
1
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Spis treści<br />
Wstęp. ................................................................................................................................................................... 1<br />
1. Analiza stanu naprężeń i odkształceń na przykładzie dwuteownika. ...................................... 3<br />
1.1. Wstęp teoretyczny i opis modelu. ................................................................................................ 3<br />
1.2. Implementacja modelu i analiza w programie COMSOL. .................................................... 4<br />
1.3. Wnioski. .................................................................................................................................................. 5<br />
2. Analiza przepływu ciepła na podstawie modelu radiatora. ......................................................... 7<br />
2.1. Wstęp teoretyczny i opis modelu. ................................................................................................ 7<br />
2.2. Implementacja modelu i analiza w programie COMSOL. .................................................... 9<br />
2.3. Wnioski. ............................................................................................................................................... 11<br />
3. Analiza przepływu krwi w tętnicy pacjenta ze zmianami miażdżycowymi. ....................... 12<br />
3.1. Wstęp teoretyczny i opis modelu. ............................................................................................. 12<br />
3.2. Implementacja modelu i analiza w programie COMSOL. ................................................. 13<br />
3.3. Wnioski. ............................................................................................................................................... 16<br />
2
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
1. Analiza stanu naprężeń i odkształceń na przykładzie dwuteownika.<br />
1.1. Wstęp teoretyczny i opis modelu.<br />
Dwuteownik <strong>–</strong> element konstrukcyjny o dużej długości i stałym przekroju<br />
poprzecznym, którego przekrój poprzeczny ma kształt dwóch zetkniętych pionowymi<br />
kreskami liter 'T' (stąd też jego nazwa). Dwuteowniki wykorzystywane są jako elementy<br />
nośne w konstrukcjach budowlanych i inżynierskich.<br />
Rys. 1. Przykładowy dwuteownik z wycięciami zmniejszającymi jego wagę.<br />
Rys. 2. Przekrój poprzeczny dwuteownika.<br />
Rys. 3. Przekrój poprzeczny uproszczonego dwuteownika.<br />
3
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Za model przyjmiemy dwuteownik szerokostropowy HEA 320 o długości 1<br />
wykonany ze stali węglowej klasy St3 ( = 0,22%, = 0,05%, = 0,05%,<br />
= 0,1%, = 0,35%, = 1,1%, = 0,3%, = 0,3%, =<br />
0,3%) o współczynnikach zebranych w poniższej tabeli:<br />
Tabela 1. Dane materiałowe dwuteownika<br />
parametry h b g s E<br />
jednostki [mm] [mm] [mm] [mm] [Pa] bezwymiarowa [ ]<br />
HEA 320 320 310 9 2,25 2 10 0,33 0<br />
gdzie: - wysokość, <strong>–</strong> szerokość podstawy, <strong>–</strong> grubość środnika, <strong>–</strong> grubość<br />
podstawy, <strong>–</strong> moduł Younga, <strong>–</strong> współczynnik Poissona, <strong>–</strong> gęstość.<br />
Analizę odkształcenia przeprowadzimy za pomocą równania Lagrange’a II-go rodzaju<br />
postaci:<br />
gdzie: <strong>–</strong> siła obciążona, <strong>–</strong> współczynnik zależny od gęstości.<br />
Siłę zwróconą w dół przykładamy w sposób ciągły na całej górnej powierzchni<br />
dwuteownika, przyjmujemy 00 [ ] oraz że nasz dwuteownik jest utwierdzony<br />
nieprzesuwnie na obu końcach.<br />
1.2. Implementacja modelu i analiza w programie COMSOL.<br />
Korzystamy z modułów programu: Structural Mechanics Module <strong>–</strong> Solid Stress<br />
Structure <strong>–</strong> Static Analisis. Analiza ma charakter trójwymiarowy.<br />
Rysunek 1. 1 Projekt dwuteownika<br />
4
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Rysunek 1. 2 Ustawienie obciążenia ciągłego<br />
Liczba elementów siatki <strong>–</strong> 21509.<br />
Rysunek 1. 3 Siatka Mesh<br />
5
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Rysunek 1. 4. Odkształcenie dwuteownika<br />
Rysunek 1. 5. Wykres naprężeń<br />
1.3. Wnioski.<br />
Maksymalne ugięcie dwuteownika wyniosło 0.4 [mm] i wystąpiły one na<br />
brzegach powierzchni górnej dwuteownika.<br />
6
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
2. Analiza przepływu ciepła na podstawie modelu radiatora.<br />
2.1. Wstęp teoretyczny i opis modelu.<br />
Radiator <strong>–</strong> element lub zespół elementów odprowadzających ciepło z elementu, z<br />
którym się styka, do otoczenia (np. powietrza). Radiator jest specjalnie ukształtowaną<br />
bryłą z metalu (lub jego stopów) dobrze przewodzącego ciepło o rozwiniętej<br />
powierzchni od strony powietrza, zazwyczaj w postaci żeber lub prętów by zwiększyć<br />
powierzchnię przekazywania ciepła. Radiatory wykonuje się najczęściej<br />
z aluminium i miedzi, czyli tworzyw mających dobre właściwości przewodzenia ciepła.<br />
W dalszej części skupimy się na radiatorach służących do chłodzenia procesorów<br />
komputerowych. Wyróżniamy następujące podstawowe systemy chłodzenia:<br />
1. pasywny <strong>–</strong> odprowadzanie ciepła przez radiator nie jest w żadne sposób<br />
wspomagane (poza pastą termoprzewodzącą nakładaną między procesor a radiator).<br />
2. aktywny <strong>–</strong> układ pasywny wspomagany jest przez wentylatory wymuszające<br />
ruch powietrza (tzw. coolery).<br />
3. chłodzenie wodą <strong>–</strong> wymiana ciepła odbywa się między procesorem a blokiem<br />
wodnym, w którym znajduje się zamknięty obieg wody.<br />
Rysunek 4. Przykładowy pasywny radiator.<br />
7
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Rysunek 5. Przykładowy aktywny radiator.<br />
Rysunek 6. Układ chłodzony wodą.<br />
Analizę przewodnictwa ciepła przeprowadzimy za pomocą równania postaci:<br />
( )<br />
gdzie: <strong>–</strong> współczynnik skalowania w czasie, <strong>–</strong> gęstość [<br />
], <strong>–</strong> pojemność cieplna<br />
[ ],, <strong>–</strong> temperatura [ ], <strong>–</strong> czas [ ], <strong>–</strong> tensor przewodności cieplnej [ ], <strong>–</strong><br />
źródło ciepła [ ].<br />
Za model przyjmiemy radiator pasywny wykonany w całości z miedzi o wymiarach:<br />
Tabela 2. Wymiary radiatora<br />
s h g m<br />
[mm] [mm] [mm] [g]<br />
380 450 380 130<br />
gdzie: s <strong>–</strong> szerokość, h <strong>–</strong> wysokość, g <strong>–</strong> głębokość, m <strong>–</strong> masa.<br />
8
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Radiator został najpierw schłodzony do temperatury zera absolutnego (0 ), a<br />
następnie procesor, wykonany w całości z krzemu, został ogrzany do temperatury<br />
393 . Parametry użyte w obliczeniach zostały zebrane w poniższej tabeli:<br />
Tabela 3. Dane materiałowe radiatora<br />
1 8960 385 0 400<br />
2.2. Implementacja modelu i analiza w programie COMSOL.<br />
Korzystamy z modułów programu: Heat transfer <strong>–</strong> Conduction <strong>–</strong> Transient<br />
analysis. Analiza ma charakter trójwymiarowy.<br />
Rysunek 2. 1 Projekt radiatora<br />
9
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Rysunek 2. 2. Ustawienie temperatury procesora<br />
Rysunek 2. 3 Mesh<br />
Siatka posiada 106942 elementów.<br />
10
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Rysunek 2. 4 Rozkład temperatury na radiatorze po 30 [s]<br />
2.3. Wnioski.<br />
Po 30 sekundach temperatura radiatora znacznie wzrosła (o ok. 1 0 stopni),<br />
zatem ze względu na dużą powierzchnię radiatora, będzie mógł on sprawnie<br />
odprowadzać ciepło do otoczenia, tym samym ochładzając procesor.<br />
11
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
3. Analiza przepływu krwi w tętnicy pacjenta ze zmianami<br />
miażdżycowymi.<br />
3.1. Wstęp teoretyczny i opis modelu.<br />
Miażdżyca tętnic <strong>–</strong> przewlekła choroba, polegająca na zmianach zwyrodnieniowowytwórczych<br />
w błonie wewnętrznej i środkowej tętnic, głównie w aorcie, tętnicach<br />
wieńcowych i mózgowych, rzadziej w tętnicach kończyn. Miażdżyca polega na<br />
wysepkowatym gromadzeniu się w błonie wewnętrznej tętnic cholesterolu (i jego<br />
estrów) oraz innych lipidów. W pierwszym etapie komórki śródbłonka gromadzą<br />
nadmierne ilości cholesterolu i lipidów, które są przemieszczane pod błonę wewnętrzną<br />
tętnic. Kolejnym etapem jest wapnienie tych ognisk, prowadzące do miażdżycowego<br />
stwardnienia tętnic, oraz pojawienie się ubytków śródbłonka nad ogniskiem<br />
miażdżycowym. W miejscach obnażonych z błony wewnętrznej dochodzi do owrzodzeń<br />
miażdżycowych, które stają się obszarami przyściennej gromadzenia płytek krwi i<br />
narastania zakrzepów.<br />
Rysunek 7. Etapy rozwoju miażdżycy.<br />
Celem modelu jest ukazanie przepływu krwi i zmian prędkości przepływu przez<br />
tętnicę, której przekrój poprzeczny zostaje zawężony w wyniku choroby miażdżycowej.<br />
W programie wykorzystane zostały następujące parametry:<br />
Tabela 4. Dane przepływu krwi<br />
0,65 13332,24 3,1 10 1055<br />
12
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
gdzie: <strong>–</strong> średnia prędkość przepływu krwi a tętnicy [ ], <strong>–</strong> średnie ciśnienie<br />
krwi w tętnicy [ ], <strong>–</strong> współczynnik lepkości dynamicznej krwi [ ], <strong>–</strong> gęstość<br />
krwi [ ].<br />
Analizę przepływu krwi przeprowadzimy za pomocą równania postaci:<br />
gdzie: <strong>–</strong> siła, <strong>–</strong> pole prędkości.<br />
[ ( ( ) )]<br />
3.2. Implementacja modelu i analiza w programie COMSOL.<br />
Korzystamy z modułów program: Fluid Dynamics <strong>–</strong> Inccompressible Navier<br />
Stokes <strong>–</strong> Steady State Analisis. Analiza ma charakter dwuwymiarowy.<br />
Rysunek 3. 1 Wprowadzenie ustawień materiału<br />
13
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Rysunek 3. 2 Wybór kierunku przepływu krwi<br />
Rysunek 3. 3 Mesh dla tętnicy bez złogów miażdżycowych<br />
Liczba elementów siatki <strong>–</strong> 197.<br />
14
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Rysunek 3. 4 Przepływ dla tętnicy bez złogów<br />
Rysunek 3. 5 Tętnica ze złogami<br />
Liczba elementów siatki <strong>–</strong> 97.<br />
15
Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4<br />
Rysunek 3. 6 Przepływ krwi<br />
3.3. Wnioski.<br />
Złogi miażdżycowe w znaczy sposób modyfikują geometrę przepływu krwi i jego<br />
prędkość, która zostaje zwiększona aż do maksymalnie 2 [ ], co może prowadzić do<br />
uszkodzenia tkanek.<br />
16