Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 6

Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki
Zestaw nr 6
1. Znajd¹ równanie prostej prostopadªej (równolegªej) do prostej o równaniu:
2x − 2 3 y = −1
przechodz¡cej przez punkt A o wspóªrz¦dnych A(2, 3).
2. Napisz równanie prostej przechodz¡cej przez punkt P (2, 6) i tworz¡cej z dodatnimi póªosiami
ukªadu wspóªrz¦dnych trójk¡t o polu równym 24.
3. Napisz równanie prostej, je±li wiadomo, »e przechodzi ona przez punkt A(3, 2) i tworzy
k¡t 30 ◦ z osi¡ OX.
4. Narysuj na pªaszczy¹nie zbiór punktów speªniaj¡cych:
(a)
(b)
{ x + y > 0
2x − y 1
{ x − y 0
x 2 + y < 1.
5. Dana jest prosta k : x − 3y + 18 = 0 oraz punkty A(−9, −3) i B(5, −1). Wyznacz
wspóªrz¦dne punktu C nale»¡cego do prostej k, który jest równo oddalony od A i B.
6. Przeprowad¹ dyskusj¦ istnienia i liczby rozwi¡za« ukªadu równa« w zale»no±ci od warto±ci
parametru m: { 3x + my = 1
7. Znajd¹ poªo»enie ±rodka i promie« okr¦gu:
mx + 12y = 2.
x 2 + y 2 − 8x + 4y + 10 = 0.
8. Napisz równanie okr¦gu przechodz¡cego przez punkty A(5, 0), B(1, 4), je»eli jego ±rodek
le»y na prostej x + y − a = 0, gdzie a jest pierwiastkiem (czyli rozwi¡zaniem) równania
log 2 (a + 5) − log 2 (a + 1) = 1.
9. Prosta l przechodzi przez punkty A 1 (−1, 9), A 2 (2, −3). Prosta k okre±lona jest równaniem
2x − y + 3m − 1 = 0. Znajd¹ takie warto±ci parametru m, aby punkt przeci¦cia prostych
l i k nale»aª do wn¦trza prostok¡ta A(1, −2), B(3, −2), C(3, 1), D(1, 1).
10. Dane s¡ dwie proste o równaniach k : 3x − y = −18, l : x + y = 2 oraz punkt A(3, −1).
Na osi OX znajd¹ taki punkt P , aby wektory −→ AP i −→ AB byªy prostopadªe, wiedz¡c, »e
punkt B jest punktem wspólnym prostych k i l.
11. Dane s¡ dwa wierzchoªki trójk¡ta A(1, 3) i B(−1, 5) oraz punkt D(2, 3) znajduj¡cy si¦
w przeci¦ciu wysoko±ci tego trójk¡ta. Prosz¦ znale¹¢ równania boków.
Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI
Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni

Zadania domowe
1. Rozwi¡» w zale»no±ci od parametru λ ukªady równa«:
(a) {
2x + 3y =
λ
x − λy = 2
(b) {
λx + y =
−x + y =
−1
−1
2. Oblicz pole gury utworzonej przez osie OX i OY oraz prost¡ przechodz¡c¡ przez punkty
A(−3, 2) oraz B(1, 1).
3. Napisz równanie okr¦gu opisanego na trójk¡cie o wierzchoªkach A(1, 0), B(7, 0), C(4, 9).
Gdzie znajduje si¦ ±rodek tego okr¦gu i ile wynosi jego obwód
4. Para liczb (x, y) jest rozwi¡zaniem ukªadu równa«
{ x − y = −1 − m
2x − y = 2m.
Dla jakich warto±ci parametru m punkt P (x, y) nale»y do koªa o promieniu r = √ 5 i
±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych
5. Punkty A(−6, 3), B(−10, 1) s¡ kolejnymi wierzchoªkami równolegªoboku ABCD, a prosta
3x − 2y + 6 = 0 jest symetraln¡ jego boku BC. Napisz równania ogólne prostych
zawieraj¡cych boki równolegªoboku oraz wyznacz wspóªrz¦dne wierzchoªków C i D.
6. Znajd¹ równanie okr¦gu wpisanego w trójk¡t wyznaczony punktami A(3, 0), B(0, 4), C(0, 0).
7. Podaj liczb¦ rozwi¡za« ukªadu równa«:
{
x 2 + y 2 =
2px
x 2 + y 2 = 1 p 2
tj. przeci¦¢ okr¦gów, w zale»no±ci od parametru p.
8. Okre±l zbiór wszystkich punktów, dla których suma odlegªo±ci od osi OY i danego punktu
na osi OX jest wielko±ci¡ staª¡ i wynosi p.
Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŠ LUDZKI
Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni