harmonska analiza

42
lahko (2.35) preoblikujemo v:
∫ ∞
[ ∫ 1 ∞
]
E x = x(t) X(ω)e jωt dω dt
−∞ 2π −∞
in ker je integriranje linearna operacija, lahko zamenjamo zaporedje integriranja:
∫ ∞
[ ∫ 1 ∞
]
E x = X(ω) x(t)e jωt dt dω .
−∞ 2π −∞
Oglati oklepaj vsebuje definicijo Fourierove transformacije. To uvidimo, če
zamenjamo ω z −ω:
X(−ω) =
Torej je energija signala enaka:
E x = 1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
x(t)e − jωt dt .
X(ω)X(−ω) dω . (2.36)
Signala X(ω) in X(−ω) sta kompleksna. Njuna medsebojno povezavo vidimo
iz definicije Fourierove transformacije, v kateri upoštevamo Eulerov
obrazec e ± jωt = cosωt ± j sinωt:
∫ ∞
X(±X) =
=
−∞
∫ ∞
−∞
x(t)e ∓ jωt dt
osnutek
x(t)cosωt dt ∓ j
= A(ω) ∓ jB(ω)
∫ ∞
−∞
x(t)sinω dt
od koder vidimo, da je X ∗ (ω) = X(−ω). Zato lahko (2.36) izpeljemo v:
∫ ∞
E x =
= 1
2π
|x(t)| 2 dt = 1
2π
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
X(ω)X ∗ (ω) dω
|X(ω)| 2 dω . (2.37)
Obrazec (2.37) imenujemo Parsevalov stavek za aperiodične signale, za katere
obstaja Fourierova transformacija.