harmonska analiza

40
kar je po definiciji Diracovega impulza enako:
= Ae jω ·0 = A .
Do istega rezultata lahko pridemo tudi po drugih poteh. Na primer, namesto
Gaussovega pulza uporabimo pravokotni pulz dolžine T in višine A. Iz
njega v limitnem postopku, ko povečamo interval T čez vse meje, dobimo
signal x(t) = A. Spekter pravokotnega pulza X T (ω) je enak:
∫ T /2
X T (ω) =
= A
−T /2
∫ T /2
−T /2
= A sinωt
ω
Ae − jωt dt
∫ T /2
cosωt dt + jA sinωt dt
−T /2
} {{ }
∣
T /2
−T /2
=0
= AT S a (ωT /2)
iz njega pa v limitnem postopku s T → ∞ dobimo:
osnutek
X(ω) = lim
T →∞ AT S a(ωT /2) = 2πAδ(ω) .
Vidimo, da ni pomembna oblika aproksimacije konstante. Mora samo imeti
Fourierovo transformacijo, katero lahko v limitnem postopku prevedemo v
Fourierovo transformacijo konstante.
2.3.3 Fourierov transform harmonskega signala
Tako, kot smo ugotovili, da ima signal x(t) = A spekter X(ω) = 2πAδ(ω),
lahko iz poznavanja Fourierovih vrst sklepamo, da ima harmonski signal s
krožno frekvenco ω 1 in amplitudo A (kompleksni) spekter sestavljen iz frekvenčnih
impulzov pri krožnih frekvencah −ω 1 in +ω 1 :
Acosω c t
F
←−−−→ πAδ(ω − ω c ) + πAδ(ω + ω c ) . (2.34)