harmonska analiza
harmonska analiza
harmonska analiza
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
38<br />
oziroma<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
∫ a<br />
e ± j2πuv dv = lim e ± j2πuv dv<br />
a→∞ −a<br />
∫ a<br />
= lim cos(2πuv) dv ± j lim<br />
a→∞ −a<br />
sin2πu·v<br />
= lim<br />
a→∞ 2πu ∣<br />
a<br />
−a<br />
a→∞<br />
∫ a<br />
sin(2πuv) dv<br />
−a<br />
} {{ }<br />
=0, sin(·) je liha funkcija<br />
= lim 2 sin(2πu·a)<br />
a<br />
a→∞ 2πu ∣a = lim 2asin2πau<br />
a→∞ 2πua<br />
= lim<br />
a→∞<br />
2aS a (2πau) = 2πδ(u) (2.31)<br />
= lim<br />
a→∞<br />
aS a (2πau) = πδ(u) . (2.32)<br />
Dokaz za (2.31) lahko izpeljemo s pomočjo izreka A.7 v dodatku A.3 na<br />
strani 126, ki pove, da je ploščina pod funkcijo S a (x) enaka π, in pri tem<br />
upoštevamo, da je lim a→∞ Sa(a) = 0. Ta rezultat ima osrednjo vlogo v integralskih<br />
transformacijah. Poglejmo zakaj. Na primer, inverzna Fourierova<br />
transformacija je definirana z:<br />
x(t) = F −1{ X(ω) } = 1 ∫ ∞<br />
[ ∫ ∞<br />
x(t ′ )e − jωt′ dt<br />
]e ′ jωt dω .<br />
2π −∞<br />
−∞<br />
osnutek<br />
Pokazati želimo, da je integral v gornji enačbi v limitnem postopku z T → ∞<br />
je enak x(t). Zaradi tega najprej spremenimo zaporedje integriranja:<br />
∫ ∞<br />
I = dt ′ x(t ′ ) 1 ∫ ∞<br />
e − jω(t′ −t) dω<br />
−∞ 2π −∞<br />
potem pa ponovimo postopek, ki je pripeljal do (2.31):<br />
∫ ∞<br />
I =<br />
=<br />
−∞<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
dt ′ x(t ′ ) lim<br />
T →∞<br />
1<br />
2π<br />
∫ a<br />
−a<br />
e − jω(t′ −t) dω<br />
x(t ′ ) 1<br />
2π lim T →∞ 2aS a(a(t ′ −t)) dt =<br />
∫ ∞<br />
in zaključimo z upoštevanjem definicije Diracovega impulza:<br />
∫ ∞<br />
x(t) = x(t ′ )δ(t ′ −t) dt ′ = x(t)<br />
−∞<br />
Podana izpeljava seveda velja, če je x(t) v tej točki zvezen.<br />
−∞<br />
x(t ′ ) 1<br />
2π 2πδ(t′ −t) dt