harmonska analiza

38
oziroma
∫ ∞
−∞
∫ a
e ± j2πuv dv = lim e ± j2πuv dv
a→∞ −a
∫ a
= lim cos(2πuv) dv ± j lim
a→∞ −a
sin2πu·v
= lim
a→∞ 2πu ∣
a
−a
a→∞
∫ a
sin(2πuv) dv
−a
} {{ }
=0, sin(·) je liha funkcija
= lim 2 sin(2πu·a)
a
a→∞ 2πu ∣a = lim 2asin2πau
a→∞ 2πua
= lim
a→∞
2aS a (2πau) = 2πδ(u) (2.31)
= lim
a→∞
aS a (2πau) = πδ(u) . (2.32)
Dokaz za (2.31) lahko izpeljemo s pomočjo izreka A.7 v dodatku A.3 na
strani 126, ki pove, da je ploščina pod funkcijo S a (x) enaka π, in pri tem
upoštevamo, da je lim a→∞ Sa(a) = 0. Ta rezultat ima osrednjo vlogo v integralskih
transformacijah. Poglejmo zakaj. Na primer, inverzna Fourierova
transformacija je definirana z:
x(t) = F −1{ X(ω) } = 1 ∫ ∞
[ ∫ ∞
x(t ′ )e − jωt′ dt
]e ′ jωt dω .
2π −∞
−∞
osnutek
Pokazati želimo, da je integral v gornji enačbi v limitnem postopku z T → ∞
je enak x(t). Zaradi tega najprej spremenimo zaporedje integriranja:
∫ ∞
I = dt ′ x(t ′ ) 1 ∫ ∞
e − jω(t′ −t) dω
−∞ 2π −∞
potem pa ponovimo postopek, ki je pripeljal do (2.31):
∫ ∞
I =
=
−∞
∫ ∞
−∞
dt ′ x(t ′ ) lim
T →∞
1
2π
∫ a
−a
e − jω(t′ −t) dω
x(t ′ ) 1
2π lim T →∞ 2aS a(a(t ′ −t)) dt =
∫ ∞
in zaključimo z upoštevanjem definicije Diracovega impulza:
∫ ∞
x(t) = x(t ′ )δ(t ′ −t) dt ′ = x(t)
−∞
Podana izpeljava seveda velja, če je x(t) v tej točki zvezen.
−∞
x(t ′ ) 1
2π 2πδ(t′ −t) dt