harmonska analiza

36
Lastnosti odvajanja in integriranja sta posebej uporabna v analizi sistemov.
Iz transformiranke odvoda sledi, da odvajanje poudarja visoko frekvenčne
komponente signala, iz transformiranke integracije pa, da integriranje priduši
visoko frekvenčne komponente. To se ujema z rezultatom odvajanja v
časovnem prostoru. Tam odvajanje signala poudari spreminjanje funkcije v
času, integriranje pa spremembe gladi.
2.2.1 Konvolucija
Pregled lastnosti Fourierove transformacije zaključimo s Fourierovo transformacijo
konvolucije. Ta konvolucijo v časovnem prostoru prevede v množe-
nje v frekvenčnem prostoru, inverzna Fourierov transformacija konvolucijo v
frekvenčnem prostoru prevede v množenje v časovnem prostoru:
v novi reviziji se mora
upoštevati zadnja verzija
poglavja o sistemih!
x(t) ∗ y(t)
x(t)·y(t)
F
←−−−→ X(ω)·Y (ω) (2.28)
F
←−−−→ X(ω) ∗Y (ω) (2.29)
Veljavnost (2.28) lahko dokažemo z naslednjo izpeljavo:
DOKAZ 2.3
in
[
∫ ∞ ∫
]
∞
F [x(t) ∗ y(t)] = x(t ′ )y(t −t ′ ) dt ′ e −ωt dt
−∞ −∞
} {{ }
=
∫ ∞
−∞
osnutek
konvolucijski integral
[ ∫ ∞
]
x(t ′ ) y(t −t ′ )e − jωt dt dt ′
−∞
} {{ }
uporabimo izrek
o časovnem premiku:
Y (ω)exp(− jωt ′ )
∫ ∞
F [x(t) ∗ y(t)] = Y (ω) x(t ′ )e − jωt′ dt ′ = X(ω)Y (ω)
−∞
□
Ta lastnost Fourierove transformacije ima velik praktični pomen pri obravnavi
sistemov, saj integriranje prevede v preprostejše množenje. Pa ne samo
to, vpogled nam da v lastnosti sistemov, ki v časovnem prostoru niso tako
očitne.
2.2.2 Povezava časovne in frekvenčne širine signala.
Pri spektru lahko definiramo širino spektra W(ω), ki je določena s prvima
prehodoma spektra skozi nič - pri ω = −2π/a in pri ω = 2π/a. Širina spektra