harmonska analiza

32
Dualnost.
Zelo uporabna lastnost v Fourierovi transformaciji je soda simetričnost amplitudnega
spektra realnega signala. Ta omogoča lastnost dualnosti med časovnim
in frekvenčnim svetom.
Dualnost izhaja iz podobnosti integralov v Fourierovi in inverzni Fourierovi
transformaciji. Velja, če sta x(t) in X(ω) Fourierov par, potem sta tudi
X(t) in x(−ω) Fourierov par:
Slika 2.3
Dualnost enotskih impulzov .
x(t)
F
←−−−→ X(ω) ⇒ X(t)
F
←−−−→ 2πx(−ω) . (2.18)
Z uporabo dualnosti lahko preprosto poiščemo nove Fourierove pare. Na
primer, pokazali smo, da sta Diracov impulz in enota v Frekvenčnem spektru
Fourierov par: δ(t) ↔ 1. Na temelju izreka o dualnosti, nam zamenjava
spremenljivk daje povezavo:
1
F
←−−−→ 1
2π δ(ω) oziroma 1 F
←−−−→ δ( f ) , (2.19)
kjer s simbolom δ(ω) označujemo frekvenčni Diracov impulz (slika 2.3).
x( t ) = ( t)
0
x( t ) = 1
1
1
t
F
X( )
1
osnutek
F
X( )
0
2
0
t
0
Frekvenčni pomik (amplitudna modulacija).
Izrek o zamenjavi spremenljivk ni uporaben le pri iskanj Fourierovih parov,
ampak tudi določanju novih lastnosti Fourierove transformacije. Tako je dualna
časovni zakasnitvi naslednja lastnost:
x(t)e jω ct
F
←−−−→ X(ω − ω c ) . (2.20)
To lastnost imenujemo frekvenčni premik ali amplitudna modulacija. Vidimo,
da ima množenje časovne funkcije z e jωct za posledico premik spektra
signala za (krožno) frekvenco ω c .