harmonska analiza

28
pri lihih x(t) pa v:
∫ ∞
∫ ∞
X(ω) = x(t)sinωt dt = j 2 x(t)sinωt dt (2.8)
−∞
0
Ti povezavi imenujemo tudi Fourierova kosinusna in Fourierova sinusna
transformacija.
2.1.2 Obstoj Fourierove transformacije
Fourierova transformacija obstaja seveda le za signale, za katere lahko izračunamo
Fourierov integral. Takšne integrale matematiki imenujejo posplošeni
integrali z argumentom ω. Zato obstoj Fourierove transformacije vežemo na
obstoj posplošenega integrala vsaj v smislu Cauchyjeve glavne vrednosti 1 .
To pomeni, da Fourierova transformiranka X(ω) obstaja, torej je omejena,
zvezna in z |ω| → ∞ limitira k nič:
če je izpolnjena neenačba:
|X(ω)|
∫ ∞
−∞
lim X(ω) = 0 ,
|ω|→∞
∣
∣x(t)e − jωt∣ ∣ dt
∫ ∞
−∞
|x(t)| dt ∞ . (2.10)
Povedano z besedami, Fourierov integral obstaja, če je funkcija x(t) v intervalu
(−∞,∞) absolutno integrabilna. Zato ne obstaja Fourierova transformacija
konstant, periodičnih funkcij, eksponentnih funkcij in nekaterih polinomov.
Ker so nekatere izmed teh funkcij, na primer harmonski signal cosωt
in sinωt, zelo pomembne v obdelavi signalov, bomo kasneje pokazali, kako
z limitnim postopkom obiti omejitev absolutne integrabilnosti (razdelek 2.5
na strani 43).
Katere funkcije, oziroma signali, ki so z njimi opisani, pa so absolutno
integrabilne (imajo normo ‖·‖ 1 ) Iz neenakosti:
∫ ∞
−∞
|x(t)| dt
∫ ∞
−∞
|x(t)| 2 dt =
osnutek
∫ ∞
−∞
x(t)x ∗ (t) dt ∞ (2.11)
1 Cauchyjeva glavna vrednost je povezana z definicijo posplošenega integrala funkcije, na
primer f (u), ki je definirana na (odprtem) intervalu [a,b] z izjemo notranje točke c, a
c b, v kateri ima f (u) neskončno limito. Če obstaja:
lim
ε→0
[ ∫ c−ε
∞
∫ ∞
f (u) du + f (u) du
c−ε
]
, (2.9)
potem je (2.9) glavna vrednost posplošenega integrala ali tudi Cauchyjeva glavna vrednost.
Matematični priročnik [16], stran 339