harmonska analiza

18
1.3 Parsevalov izrek
Kolikšna je moč signala V [24, str. 78 – 82] smo zapisali, da je trenutna
moč signala x(t) enaka x 2 (t), za povprečno moč periodičnega signala pa:
P x = x 2 (t) = 1 T 0
∫T 0
x 2 (t) dt . (1.30)
Kolikšna pa je moč spektra Če v (1.30) x 2 (t) nadomestimo s produktom
signala in njegovega kompleksnega spektra dobimo:
P x = x 2 (t) = 1 T 0
∫T 0
x(t)
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
c n e jnω 0t
} {{ }
=x(t)
Zamenjajmo zaporedje seštevanja in integriranja:
P x = 1 [ ∫ ]
c n x(t)e jnω0t dt
T 0 T 0
dt .
. (1.31)
Sedaj prestavimo 1/T 0 v oglati oklepaj, ter se poigramo z predznaki v eksponentu
e:
∞
[ ]
1
P x = ∑ c n x(t)e
n=−∞ T 0
∫T − j(−n)ω0t dt
(1.32)
}
0
{{ }
=c −n
in dobimo:
P x = x 2 (t) =
∞
∑
n=−∞
c n c −n =
∞
∑
n=−∞
osnutek
|c n | 2 . (1.33)
Zgornja enačba je tako imenovani Parsevalov izrek. Parsevalov izrek pove
naslednjo pomembno lastnost:
Pri popolnem opisu signala s Fourierovo vrsto je moč spektra
signala enaka moči signala.
Oglejmo si še Parsevalov izrek pri realnih spektrih. Pri njih lahko do
Parsevalovega izreka pridemo tako, da preuredimo (1.33):
najprej iz vsote v (1.32) izvzamemo člen c 0 :
P x = c 2 0 +
∞
∑
n=−∞
n≠0
|c n | 2 ,