harmonska analiza
harmonska analiza
harmonska analiza
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
18<br />
1.3 Parsevalov izrek<br />
Kolikšna je moč signala V [24, str. 78 – 82] smo zapisali, da je trenutna<br />
moč signala x(t) enaka x 2 (t), za povprečno moč periodičnega signala pa:<br />
P x = x 2 (t) = 1 T 0<br />
∫T 0<br />
x 2 (t) dt . (1.30)<br />
Kolikšna pa je moč spektra Če v (1.30) x 2 (t) nadomestimo s produktom<br />
signala in njegovega kompleksnega spektra dobimo:<br />
P x = x 2 (t) = 1 T 0<br />
∫T 0<br />
x(t)<br />
∞<br />
∑<br />
n=−∞<br />
∞<br />
∑<br />
n=−∞<br />
c n e jnω 0t<br />
} {{ }<br />
=x(t)<br />
Zamenjajmo zaporedje seštevanja in integriranja:<br />
P x = 1 [ ∫ ]<br />
c n x(t)e jnω0t dt<br />
T 0 T 0<br />
dt .<br />
. (1.31)<br />
Sedaj prestavimo 1/T 0 v oglati oklepaj, ter se poigramo z predznaki v eksponentu<br />
e:<br />
∞<br />
[ ]<br />
1<br />
P x = ∑ c n x(t)e<br />
n=−∞ T 0<br />
∫T − j(−n)ω0t dt<br />
(1.32)<br />
}<br />
0<br />
{{ }<br />
=c −n<br />
in dobimo:<br />
P x = x 2 (t) =<br />
∞<br />
∑<br />
n=−∞<br />
c n c −n =<br />
∞<br />
∑<br />
n=−∞<br />
osnutek<br />
|c n | 2 . (1.33)<br />
Zgornja enačba je tako imenovani Parsevalov izrek. Parsevalov izrek pove<br />
naslednjo pomembno lastnost:<br />
Pri popolnem opisu signala s Fourierovo vrsto je moč spektra<br />
signala enaka moči signala.<br />
Oglejmo si še Parsevalov izrek pri realnih spektrih. Pri njih lahko do<br />
Parsevalovega izreka pridemo tako, da preuredimo (1.33):<br />
najprej iz vsote v (1.32) izvzamemo člen c 0 :<br />
P x = c 2 0 +<br />
∞<br />
∑<br />
n=−∞<br />
n≠0<br />
|c n | 2 ,