harmonska analiza

16
1.2.3 Simetrije v spektru
Tudi pri kompleksnih Fourierovih vrstah imajo simetrije pomembno vlogo.
To uvidimo, če (1.22) zapišemo v obliki:
c n = x(t)cosnω 0 t − j x(t)sinnω 0 t
in predpostavimo, da je x(t) realen. Takrat velja:
(
) 2 ( ) 2
|c n | 2 = x(t)cosnω 0 t + x(t)sinnω 0 t
ϕ n = −arctan x(t)sinnω 0t
x(t)cosnω 0 t
Če nadomestimo n z −n, potem dobimo:
oziroma
.
|c n | = |c −n | in ϕ n = −ϕ −n (1.25)
c −n = |c n | e − jϕ n
= c ∗ n .
Torej so za realne signale (kar fizični signali večinoma so) amplitudni spektri
sodo simetrični, fazni pa liho simetrični (slika 1.9 na predhodni strani).
To je lastnost, ki smo jo opazili pri konjugirano kompleksnih kazalcih – njihova
vsota je vedno realni kazalec. Ker s kazalci lahko opišemo harmonsko
nihanje, vidimo, da dajo realni signal x(t).
Z upoštevanjem (1.25) lahko člene Fourierove vrste uredimo po parih:
osnutek
c n e jnω 0t + c n e − jnω 0t = 2|c n |cos(nω 0 t + ϕ)
oziroma jo zapišemo v obliki:
x(t) = 2
∞
∑
n=0
|c n |cos(nω 0 t + ϕ n ) . (1.26)
☞
S tem smo prišli do trigonometrijske Fourierove vrste. Z njo x(t) opišemo
z vsoto sinusoid z le pozitivnimi frekvencami. Zato z njo določimo le enostranski
spekter, ki pa nima simetrij, ki smo jih malo prej spoznali. Zato je ta
oblika Fourierove vrste manj uporabna kot je kompleksna Fourierova vrsta.
Opisani simetriji kompleksnega spektra sta značilnost realnih signalov.
Če signal ima še kakšno simetrijo v časovnem prostoru, se to odraža v podobnem
poenostavljenem računanju spektra, kar smo širše opisali pri računanju
Fourierovih koeficientov pri realnih Fourierovih vrstah.