harmonska analiza

14
Ker je e 0 = 1, lahko c 0 vključimo v seštevanje na desni strani (1.18). Ne da
bi kaj spremenili v (1.18), lahko drugo vsoto na desni strani (1.18) zapišemo
kot:
∞
∑
n=1
c −n e − jnω 0t =
1
∑
n=−∞
c n e jnω 0t
S tem dobimo običajni, kompaktni zapis kompleksne Fourierove vrste:
.
☞
x(t) =
∞
∑
n=−∞
c n e jnω 0t
. (1.19)
Značilnost te Fourierove vrste so kompleksni koeficienti – zato jo imenujemo
kompleksna Fourierova vrsta in negativne frekvence. Vpeljane so z (1.16).
1.2.1 Izračun kompleksnih Fourierovih koeficientov
Bazne funkcije kompleksne Fourierove funkcije so e jnω 0t
in tvorijo polno
zaporedje ortogonalnih funkcij Φ. Z njimi lahko po že uhojeni poti določimo
koeficiente c n iz lastnosti ortogonalnih funkcij:
pomnožimo enačbo (1.19) z e jkω 0t ter integriramo:
∫
∫
x(t) e − jkω0t dt =
T 0
=
izpostavimo koeficient c n
∞
T 0
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
c n e jnω 0t e − jkω 0t dt
osnutek
c n
∫T 0
e j(n−k)ω 0t dt =
{
cn T 0 , k = n
0 , k ≠ n
c n = 1 T 0
∫T 0
x(t) e − jnω 0t dt . (1.20)
Enačba (1.20) velja tako za pozitivne kot za negativne n ter tudi za n = 0.
Iz metode računanja koeficientov po metodi najmanjšega kvadratnega pogreška
vemo, da koeficient 1/T 0 določa energija baznih funkcij:
1
= 2
∫
∫
(
, E φ = φ(t) dt = e
jnω 0 t ) 2
dt = 2T0 .
T 0 E φ T 0 T 0
Razlika, ki je tu med realnimi in kompleksnimi Fourierovimi vrstami, ima
vzrok v tem, da pri kompleksnih vrstah mora Parsevalova identiteta veljati za
dvojno število harmonskih komponent, torej mora vsaka vsebovati pol manj
(trenutne) moči kot pri realnih Fourierovih vrstah.